AX=B eliptik kuaterniyon matris denkleminin en küçük kareler çözümü ve görüntü iyileştirmedeki uygulamaları

Abstract

Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Giriş bölümünde konu ile ilgili literatürde yer alan çalışmalar hakkında bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde çalışmamız boyunca kullanacağımız eliptik sayılar ve onların matrislerinin temel kavram ve teoremleri verilmiştir. Üçüncü bölümde eliptik matrislerin Frobenius normu tanımlanmış ve bununla ilgili özellikler verilmiştir. Sonrasında ise AX=B eliptik matris denkleminin en küçük kareler çözümü eliptik matrisler, pür imajiner eliptik matrisler ve pür reel eliptik matrisler kümesinde incelenmiştir. Dahası elde ettiğimiz sonuçlarımızın doğruluğunu kanıtlamak ve mevcut sonuçlardan ayırt etmek için bazı açıklayıcı örnekler de çözülmüştür. Dördüncü bölümde eliptik sayıların genelleştirilmiş formu olan eliptik kuaterniyonların ve onların matrislerinin bazı cebirsel özellikleri verildikten sonra eliptik kuaterniyon matrislerinin Frobenius normu tanımlanmış ve bununla ilgili özellikler verilmiştir. AX=B eliptik kuaterniyon matris denkleminin en küçük kareler çözümü eliptik kuaterniyon matrislerine karşılık gelen eliptik matris temsilleri yardımıyla eliptik kutaerniyon matrisler, pür imajiner eliptik kuaterniyon matrisler ve pür reel eliptik kuaterniyon matrisler kümesinde incelenmiştir. Elde ettiğimiz sonuçlarımızın doğruluğunu kanıtlamak ve mevcut sonuçlardan ayırt etmek için bazı açıklayıcı örnekler de çözülmüştür. Son bölümde ise ELSI (Elliptic Linear Shift Invariant) bozulma modeli olarak adlandırdığımız eliptik kuaterniyonlar cebrini kullanan yeni bir görüntü iyileştirme modeli elde edilmiştir. Bu bağlamda eliptik kuaterniyon cebri kullanılarak örneklenmiş ve eliptik değerli PSF (Nokta Yayılım Fonksiyonu) filtresinden geçirilmiş renkli bir görüntüye c/d/c model tabanlı EQLSM (Elliptic Quaternionic Least Squares Method) eliptik kuaterniyonik en küçük kareler iyileştirme filtresi adını verdiğimiz bir iyileştirme filtresi uygulanmış. Daha sonra giriş görüntüsü ile iyileştirilen çıkış görüntüsü arasındaki uçtan uca MSD (Ortalama Kare Sapma Hatası)'yi minimize yapan en uygun uzay seçilerek iyileştirilmiş görüntü dijital ortamdan analog ortama aktarılmıştır.

Keywords: Elliptic numbers, eliptik quaternions, elliptic quaternion matrices, least squares solution method, color image restoration. This study consists of five parts. The first part is an introduction devoted to the literature knowledge. In the second part of this study the fundamental definitions and theorems related to the elliptic numbers and their matrices are given. In the third part, the Frobenius norm of elliptic matrices is defined and its related properties are given. Later, the least-squares solution of the elliptic matix equation AX=B is investigated in the set of elliptic matrices, pure imaginary elliptic matrices and pure real elliptic matrices. Moreover, some illustrative examples have been resolved to prove the accuracy of our results and to distinguish them from the current results. In the fourth part, after some algebraic properties of elliptic quaternions and their matrices, which are the generalized form of elliptic numbers, are given, the Frobenius norm of elliptic quaternion matrices is defined and related properties are given. The least-squares solution of the elliptic quaternion matrix equation AX=B is studied in the set of elliptic quaternion matrices, pure imaginary elliptic quaternion matrices and pure real elliptic quaternion matrices with the help of elliptic matrix representations corresponding to elliptic quaternion matrices. Moreover, some illustrative examples have been resolved to prove the accuracy of our results and to distinguish them from the current results. In the last part, a new image restoration model using the algebra of elliptic quaternions, which we call ELSI distortion model, is obtained. In this context, a c/d/c model based EQLSM quaternionic least-squares restoration filter is applied to a color image sampled using elliptic quaternion algebra and passed through an elliptic valued PSF filter. Then, the improved image was transferred from digital to analog environment by selecting the most suitable space that minimizes the end-to-end MSD between the input image and the improved output image.