Küre yüzeyi üzerinde temel teoremler ve uygulamaları

Abstract

Bu çalışmada, düzlemsel elips ve hiperbolik koni kesitleri teorisinin küre yüzeyi üzerindeki halleri üzerinde durulmuştur. Konu ile ilgili temel tanım ve teoremler verilmiş, projektif geometri kurallarından yararlanarak izdüşüm ve projektiflikler yardımıyla konu pekiştirilmiştir. Çalışma içerisindeki şekiller, geometrik içerik ve problemlerin mümkün oldukça anlaşılır olması için tasarlanmıştır. Çalışma 3 bölümden oluşup her bir bölümde düzlem ve küre üzerindeki koni kesitleri arasındaki geometrik ilişki, trigonometrik bağıntılarla verilmiştir. Birinci bölümde, küresel geometrinin temelleri verilmiş, özellikle küresel üçgen incelenmiştir. Daha sonra projektif izdüşümler üzerinden düzlemsel ve küresel koni kesitlerinin arasındaki ilişki gösterilmiştir. İkinci bölümde, küre ile koni kesit arasındaki kesişim eğrisinin küresel koni kesitinin odak noktası olmasından bahsedilmiştir. De La Hire tasarımı yardımıyla küre kesitinin projektif tasarımı yapılmıştır. Son bölümde küresel koni kesitlerinin pratikteki uygulamaları ele alınmıştır. Örnek olarak çemberde çevre açı teoreminin küre yüzeyi üzerindeki bilinen en önemli kullanım alanlarından biri olan Omega Navigasyon sistemi tanıtılmış ve geometrik tasarımları ile açıklanmıştır. Ayrıca, koni kesitlerini içeren problemleri çözümüne yönelik Ivory Teoremi de tanıtılmıştır. Bu çalışmada ki tüm şekiller Open Geometri (Glaeser & Stachel, 1999) ile oluşturulmuş ve Corel Photo Paint ile isimlendirilmiştir. Anahtar kelimeler: Hiperbolik koni kesitleri, Küresel üçgen, De La Hire tasarımı, Omega Navigasyon Sistemi

In this study, the theory of plane elliptical and hyperbolic conic sections is emphasized on the spherical surface. The basic functions and theorems on the topic were given and the topic was deepened with the help of projection and projectivities using the rules of projective geometry. The figures are designed to make the geometric content and problems as understandable as possible. The study consists of 3 parts, and in each part, the geometric relationship between the plane and the conic sections on the sphere is given with trigonometric relations. In the first chapter, the basics of spherical geometry are given, especially the spherical triangle is examined. Then, the relationship between planar and spherical conic sections is shown on projective projections. In the second section, it is mentioned that the intersection curve between the sphere and the conic section is the focal point of the spherical cone section. (Glaeser & Stachel, 1999)Projective design of the spherical section was made with the help of De La Hire design. In the last section, practical applications of spherical conic sections are discussed. As an example, Omega Navigation system, which is one of the most important known usage areas of the peripheral angle theorem on the sphere surface, is introduced and explained with its geometric designs. In addition, Ivory's Theorem for solving problems involving conic sections is also introduced. All figures in this study were created with Open Geometry (Glaeser & Stachel, 1999) and named with Corel Photo Paint. Keywords: Hyperbolic cone sections, Spherical triangles, De La Hire construction, Omega Navigation System