Çeşitli Halkalar Üzerinde Klasik Kodların ve Stabilizer Kuantum Kodların Geliştirilmesi

Abstract

ÖZET Anahtar kelimeler: Kuantum kod, stabilizer kod, nonbinary kuantum kod, lineer kod, devirli kod, toplamsal kod, kod kazancı, minimum enerji. Bu projede Lipschitz, Hurwitz gibi çeşitli halkalar üzerinde bant genişliği, veri aktarım hızı ve ortalama enerji tüketimi bakımından daha elverişli klasik kodların üretilmesi, bu kodların simülasyonlarının yapılması, bu kodlardan 1-hata düzeltebilen mükemmel olanlarının karakterize edilmesi ve bu kodlardan yararlanılarak kuantum kodların inşa edilmesi amaçlanmıştı. Bu proje kapsamında elde edilen kodlar literatürdeki kodlarla karşılaştırılmıştır. Karşılaştırmalar BPSK (Binary Phase Shift Keying-İkili Faz Kaydırmalı Anahtarlama), QPSK (Quadrature Phase Shift KeyingDördül Faz Kaydırmalı Anahtarlama) ve QAM (Quadrature Amplitude ModulationDördül Genlik Modülasyonu) kullanılarak yapılmıştır. Bu proje kapsamında elde edilecek kodlar ile literatürdeki kodların minimum enerji açısından karşılaştırılması için hata olasılığı-SNR (bir iletim sırasında sinyal gürültü oranı) grafikleri kullanılmıştır. Proje kapsamında elde edilecek kodların, literatürdeki kodlar ile bahsedilen modülasyon türleri açısından kıyaslandığında daha iyi olduğu örülmüştür. Ayrıca proje kapsamında kuantum kodlar da çalışılmıştır. Bilindiği gibi kendine-dik (self-dual) kodlar ve kendine-ortogonal (self-orthogonal) klasik kodlar kullanılarak kuantum kod elde edilmektedir. Klasik kodlar için klasik devreler ve mantık kapıları olduğu gibi kuantum kodlar için de kuantum devre ve kuantum mantık kapıları vardır. Devreler mantık kapıları kullanılarak elde edilmektedir. Kuantum mantık kapıları Pauli spin matrisleri kullanılarak tanımlanır. Proje kapsamında kullanılacak halkalar için Pauli spin matrisleri ve Hadamard mantık kapısı gibi kuantum mantık kapıları da inşa edilmiştir. Bu mantık kapıları ile kuantum bilgi kodlanmış ve bu bilgi bir kuantum devresi kullanılarak dekodlanmıştır. Proje kapsamında elde edilen kodlar, sayısal haberleşme sistemlerinde BPSK, QPSK ve QAM gibi iki boyutlu sinyal yıldız kümesinde temsil edilen modülasyon yöntemlerindeki başarımları açısından kıyaslanmıştır. Kıyaslama yapılırken, kod kazancı ve sembol hata olasılığına karşın SNR (Signal to Noise Ratio, İşaret Gürültü Oranı) gibi, haberleşme literatüründe yaygın olarak kullanılan kriterler ele alınmıştır. Daha yüksek kod kazancının sağlanması sunulan kodlama tekniğinin daha uzak mesafeler ile haberleşme açısından daha uygun olduğunu anlamına gelir. Diğer taraftan, aynı SNR değeri için daha düşük sembol hata olasılığına sahip bir kod bulunması daha güvenilir ve dayanıklı bir haberleşme sistemini işaret eder.

ABSTRACT Key Words: Quantum code, stabilizer code, nonbinary quantum code, linear code, cyclic code, additive code, code gain, minimum energy. The aim of this project is to construct more favorable classical codes over some rings such as Lipschitz and Hurwitz in terms of bandwidth occupancy, data transfer rate and average energy consumption, to present simulations of these codes, to characterize 1-error correcting perfect codes of these codes, and to construct quantum codes by using these codes. Codes obtained within the scope of the project were compared with the ones in the literature. These comparisons were made employing BPSK (Binary Phase Shift Keying), QPSK (Quadrature Phase Shift Keying) and QAM (Quadrature Amplitude Modulation). Error probability - SNR (signal to noise ratio during a transmission) graphics were used to compare obtained codes with the ones in the literature in terms of the minimum energy. It was seen that the codes to be generated within the scope of the project are better than the codes in the literature in terms of above-mentioned modulation types. Quantum codes were studied within the project. It is well-known that quantum codes can be obtained by self-dual and self-orthogonal classical codes. There are quantum circuits and quantum logical gates for quantum codes as well as the classic circuits and logical gates for classical codes. Quantum logical gates are defined by Pauli spin matrices. Pauli spin matrices and quantum logical gates such as Hadamard gate for these rings were defined in the project. Quantum information were encoded using these logical gates and were decoded using a quantum circuit. The codes obtained in the project framework were compared in terms of their performances for modulation methods such as, BPSK, QPSK and QAM represented by two-dimensional signal constellations, in digital communications systems. During the comparison, commonly used criteria such as, coding gain and symbol error rate versus SNR (Signal to Noise Ratio) are considered. To provide higher coding gain means that the proposed coding technique is more suitable for communicating over long distances. On the other hand, to attain a code having lower symbol error probability for same SNR values denotes the more reliable and robust communication system.