Fark denklemleri

Abstract

Anahtar kelimeler: Fark denklemi, çözüm fonksiyonu, dizi, üretici fonksiyonBu çalısmada Samuel Goldberg'in ?Introduction to Difference Equations? adlı kitabıtemel alınmıstır. Burada lineer fark denklemlerinin ve çözümlerinin bazı özellikleriincelenerek çesitli alanlardaki uygulamaları vurgulanmıstır.Birinci bölümde, kesikli bazı muhtemel değerler alabilen problemlerin farkdenklemlerini içeren matematiksel metotlar ortaya koyduğu anlatılmaktadır.?kinci bölümde, fark fonksiyonu, D operatörünün bazı özellikleri, fark ve diferansiyelarasındaki benzerlikler gösterilmistir.Üçüncü bölüm, birinci mertebeden fark denklemlerinin çözümlerini, bunların varlıkve tekliğini, bu çözümlerin diziler yardımıyla gösterimini ve davranıslarınıiçermektedir. Ayrıca diferansiyel denklemlere fark denklemleri yardımıylayaklasımlar yapılmıstır.Dördüncü bölümün konusu homojen ve homojen olmayan sabit katsayılı farkdenklemleridir. Burada çözümlerin limit durumunda davranısları da ayrıntılı olarakincelenmistir. Ayrıca n. mertebeden genel durumun yanı sıra sabit katsayılı lineerdiferansiyel denklemlerle iliskileri ortaya koyulmustur.Besinci bölümde ise bir fark denkleminin denge ve kararlılığı tanımlanmıs, baslangıçkosullarına ne sekilde bağlı olduğu örneklenmistir. Birinci mertebeden denklemlerile örümcek ağı döngüleri arasındaki iliskiler tanımlanmıs ve ikinci mertebeden birsınır-değer problemi tanımlanarak bunun asikâr olmayan çözümleri aranmıstır. Sonolarak bu bölümde, üretici fonksiyon kavramı verilerek çesitli problemler üzerine nesekilde uygulandığı gösterilmistir.

Key Words: Difference Equation, Solution Function, Sequence, Generating FunctionThis research is based on the book named ?Introduction to Difference Equations? bySamuel Goldberg.In this study, properties of the linear difference equations and their solutions areinvestigated. Various applications in different diciplines are emphasized.In the first section it is illustrated that, problems that can take a discrete set ofpossible values often lead to mathematical models involving difference equations.In the second, difference function, some properties of the D operator and similaritiesbetween difference and differential are presented.The third section includes solutions of the first-order difference equations, theirexistence and uniqueness, presentation of these solutions by series and also theirlimiting behaviour. Additionally, some approximations have been made to thedifferential equations by difference equations.The topic of the fourth section is homogeneous and non-homogeneous differenceequations with constant coefficient. In this part, behaviours of the solutions in thelimiting case are detailed. In addition to the general case of order n, the relationshipswith the linear differential equations with constant coefficients are displayed.In the fifth section, equilibrium and stability of a difference equation is defined andthe way they depend on the initial conditions is sampled. Relationships between thefirst-order equations and the cobweb cycles are introduced, a second-order boundaryvalueproblem is defined and its non-trivial solutions are searched. Finally, I thissection the generating function is defined and is application on different problems ispointed out.