Üçgensel sayılar

Abstract

Bu tez temel olarak iki bölümden ve bu bölümler de kendi içerisinde alt bölümlerden oluşmuştur. Birinci bölümde; üçgensel sayılar tanıtılarak bunların nasıl ortaya çıktığına ve önemli bir takım özelliklerine yer verilmiştir. Ayrıca üçgensel sayıların özelliklerinden elde edilen bazı denklemlerin çözümlerinin karakterizasyonu yapılmıştır.İkinci bölümde kare-üçgensel sayılar tanıtılarak bu sayıların Pell, Pell-Lucas sayı dizileri ile, {un}, {vn}, {yn},dizileri arasındaki yakın ilişkiden bahsedilmiştir. Kare-üçgensel sayıları elde etmede kullanılan formül daha basit olarak bazı Diophantine denklemlerinin çözümleri yoluyla ispatlanmıştır. Pell, Pell-Lucas dizileri ile {un}, {vn} dizilerinin monoton artanlıkları, kongrüans özellikleri ve bölünebilme özellikleri verilmiş ve bu özellikler yardımıyla yeni teoremler ispatlanmıştır. Bazı Diophantine denklemleri daha basit hale getirilerek çözümleri karakterize edilmiş ve bu çözümlerin {un} ve {yn} dizilerinden oluştuğu ispat edilmiştir. Ayrıca, n>1 ve m>1 için ynym=yr olacak biçimde r doğal sayısının mevcut olmadığı gösterilmiştir.

This thesis consists of fundamentally two chapters and these chapters consist of subchapters in itself. In the first chapter, triangular numbers and how they emerge are introduced as well as some important properties of them are mentioned. Also, some equations obtained from properties of triangular numbers are characterized.In the second chapter, square-triangular numbers are introduced and their close relations between Pell, Pell-Lucas numbers and {un}, {vn}, {yn} sequences are mentioned. Formula used to get square-triangular numbers is proved easily by means of some Diophantine equations. Monotone increasing, congruences and divisibility properties of Pell, Pell-Lucas, {un} and {vn} sequences and some new theorems are given. Solutions of some Diophantine equations are characterized and it is proved that these solutions are related to {un} and {vn} sequences. Moreover, it is showed that there exists no solution of the equality of ynym=yr for n>1 and m>1.