Anahtar Kelimeler: Fibonacci sayıları, Lucas sayıları, genelleştirilmiş Fibonacci sayıları, genelleştirilmiş Lucas sayıları, Fibonacci kuaterniyonları, Lucas kuaterniyonları, genelleştirilmiş Fibonacci kuaterniyonları, genelleştirilmiş Lucas kuaterniyonları, üreteç fonksiyonlar. Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde Fibonacci ve Lucas sayıları, Fibonacci ve Lucas kuaterniyonları ve (p,q) genelleştirmeleri ile ilgili genel literatür bilgisi verilmiştir. İkinci bölümde Fibonacci ve Lucas sayıları ile ilgili özellikler, Cassini ve Catalan özdeşlikleri ile bazı kombinatorik özellikler ispatlanacaktır. Üçüncü bölümde genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayılarının özellikleri anlatılacaktır. Dördüncü bölümde makalemize konu olan genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas kuaterniyonları ile ilgili tanım ve teoremler verilerek, kuaterniyonlardaki Catalan özdeşliği ile bazı kombinatoryel özellikler ve üreteç fonksiyonlar ele alınacaktır. Beşinci bölüm, sonuç ve önerilerden oluşmaktadır.
Keywords: Fibonacci numbers, Lucas numbers, generalized Fibonacci numbers, generalized Lucas numbers, Fibonacci quaternions, Lucas quaternions, generalized Fibonacci quaternions, generalized Lucas quaternions, generating functions. This thesis consists of four parts. In the first part, general literature on Fibonacci and Lucas numbers, Fibonacci and Lucas quaternions, and (p,q) generalizations are given. In the second part, properties related to Fibonacci and Lucas numbers, Cassini and Catalan identities and some combinatorial properties will be proved. In the third part, some properties of generalized Fibonacci and Lucas numbers will be explained. In the fourth part, the definitions and theorems related to the generalized Fibonacci and Lucas quaternions which are subject to our article will be given and the Catalan identity in quaternions and some combinatorial properties and generating functions will be discussed. The fifth part consists of conclusions and recommendations.
