3 - boyutlu lorentz uzayında timelike yüzeylerin gauss denklemleri

Abstract

Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde Lorentz uzayında temel kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde 3-boyutlu Lorentz uzayında timelike yüzeyler için yapı denklemleri, Gauss ve Codazzi-Mainardi denklemleri ile bu yüzeylerin Gauss, ortalama eğriliği ve Hodge-yıldız operatörü tanımları verilip bir timelike yüzeyin farklı iki izotermal dual çatısı arasındaki açının harmonik olduğu bulunmuştur. Ayrıca sabit ortalama eğrilikli bir timelike yüzeyin izotermik hale getirilebileceği gösterilmiştir. Bir timelike yüzeyin asli ve asli olmayan çatıları arasındaki açı olmak üzere, değeri hesaplanmış ve bu değer yardımıyla bir timelike yüzeyin sabit ortalama eğrilikli olması halinde sağladığı kısmi diferensiyel denklem elde edilmiştir. Ayrıca timelike yüzeyin maksimal olması durumunda, bu diferensiyel denklemin yeni ifadesi verilmiştir. olmak üzere, bir timelike yüzeyin izotermik olması için gerek ve yeter koşul verilmiş ve bu koşulun ve değerlerinin sabit olması durumunda da geçerli olduğu ifade edilmiştir. Dördüncü bölümde, 3-boyutlu Lorentz uzayında timelike dönel yüzeylerin, timelike genelleştirilmiş silindirlerin ve timelike helikodial yüzeylerin özel kabuller altında Gauss denklemleri bulunmuştur. Ayrıca, bir timelike helikoidal yüzeyin ortalama eğriliğinin sabit olması için gerek ve yeter koşulun olduğu kanıtlanmıştır. Beşinci bölümde, dördüncü bölümde elde edilen Gauss denklemlerinin çözümleri araştırılmış ve geometrik yorumlar yapılmıştır.

This thesis consists of five chapters. The first chapter is devoted to the introduction. In the second chapter, the basic concepts in Lorentzian space are introduced. In the third chapter, some basic concepts of the structure equations, Gauss and Codazzi-Mainardi equations for the timelike surfaces, the Gauss and mean curvature of timelike surfaces and Hodge-star operator are given. It is proved that the angle between two different isothermal dual frame of a timelike surface is harmonic and a timelike surface are isothermic. For the angle between the principal frame and non-principal frame of timelike surface, the value of is obtained. By the aid of this value, the partial differential equation providing the timelike surface with constant mean curvature is obtained. Moreover, the new expression of this differential equation is given when timelike surface is maximal (i.e ). The necessary and sufficient condition for a timelike surface being isothermic is given when and it is expressed that this condition is satisfied in the case of and are constants. In the fourth chapter, the Gauss equations of timelike surface of revolution, timelike generalized cylinder and timelike helicoidal surface are obtained. Moreover, it is proved that the mean curvature of timelike helicoidal surface is constant if and only if the angle between helices and principal curve is constant. In the final chapter, the solutions of the Gauss equations which found in the previous chapter are investigated and some geometrical interpretations are done.