Genel lineer rasgele etki modelleri altında ön tahmin edicilerin kovaryans matris karşılaştırması

Abstract

Anahtar kelimeler: BLUE, BLUP, genel lineer rasgele etki modeli, inertia, kovaryans matris, rank. Bu çalışmada, rasgele etkilerin ilişkili ve matrislerin tam ranklı olması varsayımları üzerine herhangi bir kısıtlama olmaksızın hem sabit hem de rasgele etkileri içeren bir genel lineer rasgele etki modeli ve onun iki alt modeli ele alınmıştır. Bu üç model altında, ortak olan bilinmeyen parametre vektörlerinin ön tahmin edicileri farklı cebirsel ifadelere sahiptir. Ön tahmin edicilerin bu modeller altında farklı özelliklere ve performanslarına sahip olmalarından dolayı, ön tahmin edicilerin karşılaştırılması problemi istatistiksel çalışmaların temel konulardan biridir. Bilinmeyen parametrelerin en iyi lineer yansız ön tahmin\tahmin edicilerinin (BLUP\BLUE'larının) kovaryans matrisleri, minimum kovaryans matris yapısına dayanan tanımlarından dolayı diğer tip yansız ön tahmin\tahmin ediciler ile bir karşılaştırma ölçütü olarak kullanılmaktadır. Çalışmada bir genel lineer rasgele etki modeli ve onun iki alt modeli altında, sabit ve rasgele etkilerin bir genel lineer fonksiyonunun BLUP\BLUE'ların kovaryans matrislerinin karşılaştırılması problemi göz önüne alınmıştır. Matris rankı ve inertia formüllerini içeren bir yaklaşım kullanılarak, sabit ve rasgele etkilerin bir genel lineer fonksiyonun BLUP\BLUE'larının kovaryans matrislerinin karşılaştırılmasında çeşitli eşitlik ve eşitsizlikler verilmiştir. İlk bölümde, bir genel lineer rasgele etki modeli ve bu modelin alt modelleri tanıtılmış ve bu modeller altında parametre tahmini ile ilgili kısa bir literatür taraması yapılmıştır. Bazı temel kavram ve teoremler ikinci bölümde verilmiştir. Üçüncü bölümde, genel lineer rasgele etki modellerinde ön tahmin\tahmin edilebilme, BLUP ve BLUE ile ilgili matris denklemleri, ön tahmin\tahmin edicilerin analitik ifadeleri ve özellikleri ele alınmıştır. Dördüncü bölümde, ele alınan model ve onun alt modelleri için sabit ve rasgele etkilerin genel lineer fonksiyonunun BLUP'ının kovaryans matrisinin karşılaştırılması ile ilgili bazı eşitlik ve eşitsizlikler verilmiştir. Ayrıca sabit etkilerin genel lineer fonksiyonun BLUE'larının kovaryans matrisleri için karşılaştırmalar yapılmıştır. Bu karşılaştırmalar için matris rank ve inertia yöntemi kullanılmıştır. Son bölüm ise, sonuç ve önerilerden oluşmaktadır.

Keywords: BLUE, BLUP, general linear random effects model, inertia, covariance matrix, rank. In this study, a general linear random effects model that includes both fixed and random effects and its two sub-sample models are considered without making any restrictions on correlation of random effects and any full rank assumptions. Predictors of joint unknown parameter vectors under these three models have different algebraic expressions. Because of having different properties and performances under these models it is one of the main subject of statistical studies to make comparison of predictors. Covariance matrices of best linear unbiased predictors\best linear unbiased estimators (BLUPs\BLUEs) of unknown parameters are used as a criterion to compare with other types unbiased predictors due to their definition of minimum covariance matrices structure. The comparison problem of covariance matrices of BLUPs\BLUEs for a general linear function of fixed effects and random effects under the general linear random effects model and its two sub-sample models is considered in the study. Variety of equalities and inequalities are given in the comparison of covariance matrices of BLUPs\BLUEs of a general linear function of fixed effects and random effects under the models by using an approach consisting matrix rank and inertia formulas. In the first chapter, a genel linear random effects model and its sub-sample models have been introduced and short literature information has been given about prediction of parameters under these models. Some fundamental concepts and theorems have been considered in the second chapter. In the third chapter, prediction\estimation in general linear random effects model, matrix equations related to BLUP and BLUE, and analytical expressions of predictors and their properties are discussed, respectively. In the fourth chapter, some equality and inequalities related to the comparison of the covariance matrix of the BLUP of the general linear function of fixed and random effects are given for the considered model and its sub-models. In addition, the comparisons of the covariance matrices of the BLUEs of the general linear function of fixed effects are made. Matrix rank and inertia method are used for the comparisons. The last chapter consists of conclusion and proposals.