Esnek metrik uzayları topolojisi

Abstract

Bu tezin ikinci bölümünde esnek kümelerle ilgili kısa bir literatür bilgisi ile birlikte bazı temel kavram ve özellikler verilmektedir. Üçüncü bölümde, esnek eleman ışığında esnek metrik uzaylar üzerinde detaylı bir çalışma yapılmaktadır. Bu bölümde, esnek kümeler üzerine esnek eleman yardımıyla kurulan esnek metrik yapısı verilmekte, esnek metrik uzaylar ile klasik metrik uzaylar arasındaki geçişler incelenmekte ve bazı örnekler verilmektedir. Aynı zamanda esnek alt uzay, esnek metrik uzaylarda uzaklık ve çap kavramları ve onların bazı özellikleri verilmektedir. Esnek açık ve esnek kapalı yuvarlar, esnek komşuluk, esnek iç, esnek açık ve kapalı kümeler incelenmekte ve birçok özelliği verilmektedir. Esnek açık kümelerin elemanter esnek birleşimi esnek açık olduğu halde iki esnek açık kümenin elemanter esnek kesişimi esnek açık olmayabilir. Bu yüzden esnek açık kümelerin kesişimlerinin esnek açık olacak şekilde esnek metrik uzaylar üzerine bir kısıtlama getirilmektedir (M5 şartı). (M5) şartını sağlayan her esnek metrik uzayın bir esnek elemanter topolojik uzay olduğu görüldükten sonra esnek metrik uzaylarda esnek yığılma elemanları, esnek kapanış elemanları gibi topolojik özellikler çalışılmaktadır. Ayrıca esnek metrik uzaylarda esnek elemanlardan oluşan dizilerin yakınsaması, Cauchy dizileri ve esnek metrik uzaylarda tamlık kavramları ve onların bazı özellikleri verildikten sonra Banach sabit nokta teoremi ispatlanmaktadır. Dördüncü bölümde, esnek metrik uzayların kompaktlığı ve sürekliliği üzerine çalışılmaktadır. Bu bölümde esnek metrik uzaylarda dizisel kapalılık, dizisel kompaktlık, esnek ağ, esnek total sınırlılık, Lebesgues elemanı ve esnek dizisel süreklilik kavramları tanımlanmakta ve bazı temel özellikleri ispatlanmaktadır. Aynı zamanda elemanter esnek metrik topolojik uzayda esnek açık örtü ve esnek kompaktlık tanımları yapılmaktadır. Her esnek metrik uzay elemanter esnek topolojik uzay olmadığından bu uzayda dizisel kompaktlıkla kompaktlığın farklı olduğu görülmektedir. Buna rağmen (M5) şartını sağlayan esnek metrik uzaylarda dizisel kompaktlıkla kompaktlığın, dizisel süreklilik ile sürekliliğin aynı oldukları ispatlanmaktadır. Bu bölümde dizisel kompaktlık ve kompaktlığın bazı özellikleri de verilmektedir. Bu tezin özellikle dördüncü bölümünden elde edilen sonuçlar, bu konulardaki çalışmalar için kaynak teşkil edecek niteliktedir. Anahtar kelimeler: Esnek küme, esnek eleman, elemanter esnek işlemler, esnek metrik, elemanter esnek topoloji, tamlık, Banach sabit nokta teoremi, total sınırlılık, dizisel kompaktlık, kompaktlık, süreklilik.

In the second chapter in this thesis, a short literature information about the soft sets and some fundemantal concepts and properties are given. The soft metric spaces via soft elements are discussed in detail in the third chapter. The soft metric structure that established by the soft element on the soft sets is given, relations between the soft metric spaces and the classical metric spaces are examined and some examples are given in this chapter. Also, soft subspace, the consepts of distance and diameter and their some properties in soft metric spaces are given. Soft open balls, soft closed balls, soft neighboard, soft interior, soft open and soft closed sets are examined. Although the elemanter soft unions of soft open sets are soft open, the elemantary intersection of two soft sets is not open. So, the soft metric spaces are restricted (the condition M5) for the elemantary intersection of two soft sets to be open. It is seen that every metric space satifyng the condition (M5) is a elemantary soft topological space. It is worked on limit elements and closure elements as the concepts of topological in the elemantery soft metric topological space. In addition, the concepts as convergence of sequences of the soft elements, Cauchy sequences and completeness in soft metric spaces are given. In the fourth chapter, the compactness of soft metric spaces is considered. In this chapter, the concepts of sequentially closeness, sequentially compactness, soft net, soft totally boundedness, Lebesques element, soft covering, compactness, soft sequentially continuity and continuity are defined, and their basic properties are proved in soft metric spaces. Since every soft metric spaces is not a elementary soft topological space, it is seen that sequentially compactness is different from compactness. Nevertheless, it is proved that every sequentially compact soft set is compact, and every sequentially continuous mapping is continuous in the soft metric space satisfying (M5). It is also proved that some properties of sequentially compactness and compactness in this chapter. The results obtained in the scope of this thesis will be the basis for further studies in this context. Keywords: Soft set, soft element, elementary operations, soft metric, elementary soft topology, completeness, Banach fixed point theorem, totally boundedness, compactness, sequentially compactness, continuity.