İdempotent matrisler ve idempotent matrislerin lineer kombinasyonlarının nonsingülerliği

Abstract

Kuadratik formların, özellikle idempotent matrisli kuadratik formların istatistikteorilerinde merkezi bir rol oynadığı iyi bilinmektedir. Bununla birlikte istatistikteorisi ile ilgili detaylar bu çalışmada verilmemektedir.Bu çalışmanın amacı iki aşamalıdır: P1 ve P2 herhangi iki idempotent matris, c1 vec2 skalerler olmak üzere c1P1 + c2 P2 lineer kombinasyonunun nonsingülerliğiyle ilgiliolan ve J. K. Baksalary ve O. M. Baksalary[2] tarafından ele alınan problemiincelemek ve ikinci olarak iki değişmeli idempotent matrisin lineerkombinasyonunun bir involutif matris olduğu tüm durumları karakterize etmeproblemi için tam çözüm ortaya koymaktır. Bir involutif matris daima nonsingülerolduğundan dolayı ikinci durum, birinci durumun özel bir durumu olduğuna dikkatetmek gerekir.Çalışma şöyle düzenlenmiştir. Bazı temel tanımlar ve yardımcı sonuçlar Bölüm 1 deverilmektedir. Bölüm 2 de, idempotent ve tripotent matrislerin lineerkombinasyonları ile ilgili bazı sonuçlar sunulmaktadır. Yukarıda bahsedilen esaskonular Bölüm 3 te tartışılmaktadır.

It is well known that quadratic forms, particulary those with idempotent matrices play acentral role in statistical theory. However, it is not given the details of the statisticaltheory here.The purpose of this study is two fold: to investigate the problem considered byBaksalary and Baksalary[2], which deals with the nonsingularity of any linearcombination c1P1 + c2 P2 where P1 and P2 are any two idempotent matrices and c1 andc2 are scalars, and secondly, to established complete solutions to the problem ofcharacterizing all situations in which a linear combinations of two commutingidempotent matrices is an involutive matrix. Notice that the latter is a special case of theformer because of the fact that an involutive matrix is always nonsingular.The study is organized as follows. Some basic definitions and auxiliary results are givenin Chapter 1. In Chapter 2, some results related to the linear combinations of idempotentand tripotent matrices are presented. Main subjects mentioned above are discussed inChapter 3.