Lineer olmayan operatörlü denklemler için newton metodu

Abstract

Lineer olmayan denklemlerin çözümü için ardışık yaklaşımlar yöntemi ilk kez İngiliz matematikçi Isac Newton tarafından reel değerli ve reel değişkenli fonksiyonlar için ortaya atıldı. Bu metot denklemin, araştırılan kökünün yeterince yakın komşuluğundan seçilen bir başlangıç yaklaşım ile bu noktada fonksiyona teğet olan doğrunun denklemi yazılır ve bu denklemin x eksenini kestiği nokta ki bu ikinci yaklaşım olacaktır bulunur işlemi bu şekilde devam ettirmekle bir ardışık yaklaşımlar dizisi oluşturulur ve bu dizinin verilmiş fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerinin varlığı, sürekli olması, aynı işaretli ve sıfırdan farklı olması halinde denklemin tek bir kökünün var olduğu dolayısı ile dizisinin yakınsak olduğu ispat edilir.Bu metot Rus matematikçi L. V. Kantoroviç tarafından lineer olmayan operatör denklemlerin çözümü için genelleştirilmiştir. Operatörün tanımlı olduğu bölgede frechet türevlenebilir ve türevlenmiş operatörün tersinin varlığı ve bunların bazı koşulları sağlaması halinde operatörün tanım bölgesini kendisine dönüştüren ve bu bölgede bir daralma operatörü olduğunun gösterilmesi ile operatör denklemin tanım bölgesinde tek bir çözümü olduğu ispat edilir.Anahtar kelimeler: Lineer olmayan, Operatör, Ardışık yaklaşımlar, Newton metodu.

Newton?s method is a relatively simple, practical, and widely-used root finding method. It is easy to see that while in some cases the method rapidly converges to a root of the function, in some other cases it may fail to convergeat at all. This is one reason as of why it is so important not only to understand the construction of the method, but also to understand its limitations.Assume that an initial estimate is known for the desired root of f(x) = 0. Newton?s method will produce a sequence of iterates , which we hope will converge to .Since is assumed close to , approximate the graph of the function y = f(x) in the vicinity of its root by constructing its tangent line at ( ,f( )).Then use the root of this tangent line to aproximate ; call this new aproximation x .and this leads to the iteration formulaNewton?s method is the best known procedura for finding the roots of an equation. It had been generalized in many ways for the solution of nonlinear operator equations by L.V.Kantorovich, for example system of nonlinear equations and nonlinear integral and differential equations.Key words: Nonlinear, Operator, Iteration process, Newton method, Equation.