Korteweg-de vries denklemi üzerine bir çalışma

Abstract

Bu çalışma su dalgaları, plazma fiziği, esnek çubuk gibi fiziksel sistemlerin çalışmalarında ortaya çıkmış bir lineer olmayan kısmi türevli diffarensiyel denklem olan Korteweg de Vires (KdV) denklemi üzerine yapılmıştır.KdV denkleminin ortaya çıkışı ,ilk olarak 1884 yılında İskoçyalı mühendis J.Scott Russel tarafından fark edilen soliton dalgalarla başlar. Russell'in keşfinden 60 yıl sonra Alman matematikçi Korteweg ve öğrencisi de Vires , soliton dalga çözümlerini bularak , günümüzde KdV denklemi olarak bilinen denklemi ortaya koymuşlardır.Fiziksel uygulamalardan kaynaklanan kısmi türevli denklemler konusundaki detaylı çalışmalar iyi geliştirilmiş bir konu değildir. Gerçektende bu gibi denklemlerin çoğunun çözümleri hakkında az kaliteli ve az detaylı nicel bilgiler bilinmektedir. Bu yüzden özel denklemler üzerinde çalışmak ve onlardan mümkün olduğunca kaliteli ve nicel bilgiler çıkarmak ve elde edilen sonuçlardan genelleme yapabilmeye sebep olmak ümidiyle KdV denkleminin birkaç başlığı için detaylı bir çalışma yapmaya girişilmiştir.Bu çalışmanın KdV denklemi hakkında son yıllarda yapılan çalışmalar ve elde edilen sonuçlar üzerine bir anket çalışması gibi olması hedeflenmiştir. Tarihsel gelişimle birlikte , çalışmalar ve sonuçlar ve nasıl elde edildiği incelenmeye çalışılmıştır. Daha sonra ise denklemin bir soliton için çözümü dönüşümü ile başlayarak elde edilmeye çalışılmıştır. Sonrada KdV denkleminin özel öneme sahip özelliklerinden biri olan sonsuz sayıda korunum kanununa sahip oluşu incelenmiştir. Bu çalışmada bu korunum kanunlarından birkaçı ele alınmış ve bununla ilgili bir teorem ve teoremin Gardner tarafından yapılan ispatı tüm adımlarıyla birlikte sunulmuştur.Sonraki bölümde denklemin periyodik ve tek soliton çözümü bulma adımları gösterilmiş ve son bölümde de KdV denkleminin başlangıç değer probleminin çözümünün tekliği de ispatlanarak çıkartılmıştır.Anahtar kelimeler: KdV denklemi , Soliton , Korunum Kanunları

This study is performed on Korteweg ? de Vries equation (KdV) which is a nonlinear partial differential equation arising in the work of a number of different physical systems , water waves , plasma physics , anharmonic lattices and elastic rods. First appearance of KdV equation starts with John Scott Russell in 1884 by notice of solitary waves. After 60 years from Russell , German mathematician Korteweg and his student de Vries found soliton solution of the equation and introduce KdV equation.The detailed study of nonlinear partial differential equations arising in physical applications is not well-developed subject. Indeed , for many such equations , little qualitative and detailed information is known about their solutions . And also questions of existence , uniqeness and stability remained unanswered as well With this philosophy in mind we embarked on detailed study on some topic of KdV equation.This study is devoted to a survey of some results of these studies carried out recently for KdV equation . Later , one soliton solution of the equation is tried to get from starting some transformation .Another property of the KdV eqution of special significiance is the existence of an infinite number of conservation laws is examined. Some of laws are discussed and a theorem about the subject and one of the known proof of Gardner is introduced.Later derivation of Kdv equation is studied in detailed physical perspective , using vector calculus etc. Finally , periodic and single soliton solutions is discussed and then the uniqeness of solution of the initial value problem fort he KdV equation is proved .Key Words: KdV Equation , Soliton , Conservation Laws ,