Bu çalışmada ilk olarak, sürekli kesirler, sürekli kesirlerin yaklaşımları ve yaklaşımların özellikleri ile yaklaşımlar yardımıyla çözülen Diophant ve Pell denklemlerinden bahsedildi.İkinci kısımda kuadratik irrasyonel sayıların periyodik sürekli kesir açılımına göre elde edilen yaklaşımları ile Newton yaklaşımları arasındaki ilişkiler anlatıldı. Verilen örneklerle, bazı yaklaşım değeri için hesaplanan Newton yaklaşımlarının aynı zamanda farklı bir yaklaşım değerine eşit olduğu gösterilerek, bu durumun hangi şartlarda gerçekleştiği anlatıldı. Newton yaklaşımının farklı bir yaklaşım değerine eşit olmasının, yaklaşımı alınan kuadratik irrasyonel sayının sürekli kesir açılımının periyot uzunluğu ile bağlantılı olduğu örneklerle anlatıldı.Son bölümde ise kuadratik irrasyonel sayısının Newton yaklaşımı ile yaklaşımının eşit olmaması durumunda, bu iki yaklaşım değerinin bulunduğu eşitliklerin tam kare olmayan D tam sayısının yazımıyla ilgili olduğu anlatıldı.Anahtar kelimeler: Sürekli Kesirler, Kuadratik İrrasyonel Sayılar, Periyodik Sürekli Kesirler, Periyot, Yaklaşımlar, Newton Yaklaşımları
First of all, we mention about continued fraction, approximations of continued fraction, properties of these approximations, Diophant and Pell equations how can they be solved by approximations.In second chapter we mention about some relations between approximations of a periodic continued fraction and Newton?s approximations. Examples are given about some Newton?s approximation which the same, different approximations and explain this situation when can be turn out to be true. Newton?s approximation equal to be different approximation is about period of length periodic continued fraction of quadratic irrational number.In the last chapter we explained situations which Newton?s approximation isn?t equal to approximation and how can be these aproximation the same equation.Key Words: Continued Fraction, Quadratic Irrational Number, Periodic Continued Fraction, Period, Approximations, Newton?s Approximation
