Matris denklemlerinin singürler değer ayrışımı ile yaklaşık simetrik çözümleri

Abstract

Çalışmanın ilk bölümünde SVD kavramı ve onun tarihsel gelişimi özetlenmektedir.İleriki bölümlerde temel araçlar olacak olan bazı kavram ve teoremler Bölüm 2'de sunulmaktadır. Sonraki bölümde SVD detaylı bir biçimde tartışılmakta ve sayısal bir örnek verilmektedir.Bölüm 4'de, önce, lineer denklem sistemleri ile ilgili genel bir teoriden bahsedilmektedir. Sonra Ax=g sisteminin tutarsız olması durumunda en küçük kareler çözümleri arasından x vektörünü bulma problemine en iyi yaklaşık çözüm sunulmaktadır.Bölüm 5'de, ilk olarak Bölüm 4'deki sonuçlar AXB=C lineer matris denklemlerine genişletilmektedir. İkinci olarak AXB=C lineer matris denklemi ve Ax=g lineer denklem sisteminin tutarlılığı için gerekli ve yeterli koşullar SVD yardımıyla verilmektedir. Son olarak bu denklemlerin çözümleri için genel bir ifade yine SVD kullanılarak ortaya koyulmaktadır.Sonraki bölümde, AXB=C tutarlı matris denkleminin özel bir durumu olan AX=C tutarlı matris denkleminin simetrik çözümleri verilmektedir.Bölüm 7'de, son zamanlarda litaratürde çalışılmakta olan, AXB=C matris denkleminin tutarsız olması durumunda en küçük kareler simetrik çözümleri arasından simetrik X matrisini bulma problemine en iyi yaklaşık çözüm SVD kullanılarak ele alınmaktadır. Ayrıca ortaya koyulan başlıca teorik sonuçları açıklamak için sayısal bir örnek de verilmektedir.Anahtar kelimeler: Moore-Penrose ters, en küçük kareler çözümü, singüler değer ayrışımı (SVD), tutarsız matris denklemi, en iyi yaklaşık simetrik çözüm.

In the first chapter of the work, the concept of the SVD and its historical evolution are summarized.Some concepts and theorems that will be fundamental tools for the further chapters are introduced in the Chapter 2. In the next chapter, the SVD is discussed in detail and a numerical example is given.In the Chapter 4, first, a general theory about the linear equations systems is mentioned. Then, the best approximate solution to the problem of finding the vector x from among the least squares solutions set of the system Ax=g if it is inconsistent is presented.In the Chapter 5, firstly the results in the Chapter 4 are extended for the linear matrix equation AXB=C, secondly the necessary and sufficient conditions for consistency of the linear matrix equation AXB=C and the linear equations system Ax=g are given via the SVD. Finally, the general expression for the solutions of these equations is also established using the SVD again.The symmetric solutions of the consistent matrix equation AX=C which is a special case of the consistent matrix equation AXB=C are given in the next chapter.In the Chapter 7, the best approximate solution to the problem, studied in the literature recently, finding the symmetric matrix X from among the least squares symmetric solutions set of the linear matrix equations AXB=C if it is inconsistent is considered using the SVD. Moreover, a numerical example to explain the main theoretical results established is given as well.Keywords: Moore-Penrose inverse, least squares solution, singular value decomposition (SVD), inconsistent matrix equation, best approximate symmetric solution.