Kongruent sayılar ve eliptik eğriler

Abstract

Bu tez temel olarak iki bölümden ve bu bölümlerde kendi içerisinde alt bölümlerden oluşmuştur. Birinci bölümde kongruent sayılar hakkında temel bilgiler verildi. Daha sonra Pisagor üçlüleri yardımıyla bazı kongruent sayı aileleri oluşturuldu. Bu bölümde son olarak genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas dizilerinden elde edilen bazı kongruent sayılar belirlendi. Özellikle Ln , n. Lucas sayısı olmak üzere 5L2n-1 ve 10L2n değerlerinin kongruent sayı olduğu belirlendi. Ayrıca Qn, n. Pell-Lucas sayısını belirtmek üzere Q2n-1/2 sayısının kongruent sayı olduğu gösterildi. İkinci bölümde ise eliptik eğriler teorisi hakkında literatürden iyi bilinen temel kavramlar verildikten sonra kongruent sayılarla eliptik eğriler arasındaki ilişki ifade edildi. Ayrıca Birch ve Swinnerton-Dyer konjektürü verildi. Eğer bu konjektür y^2=x^3-n^2*x eliptik eğrisi için doğru ise mod8 de 5,6 veya 7 ye denk olan karesiz pozitif n tamsayısının kongruent sayı olduğu gösterildi.

This thesis consists of fundamentally two chapters and these chapters consist of subchapters in itself. In the first chapter, the congruent numbers are discussed and explained. After that, some families of congruent numbers are demonstrated by utilizing Pythagorean triples. The last part of the chapter is terminated with determination of congruent numbers that are derived from generalized Fibonacci and Lucas sequences. In particular, 5L2n-1 and 10L2n are determined to be congruent number where Ln is the nth Lucas number. Moreover, it is shown that Q2n-1/2 is congruent number where Qn is the nth Pell-Lucas number. In the second chapter, the addition of two points in an elliptic curve is given and the relation between congruent numbers and elliptic curves is seeked. By explaining Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, it is demonstrated that if this conjecture is true for the elliptic curve y^2=x^3- n^2*x then the squarefree positive integer n congruent to 5,6 or 7 modulo 8 is a congruent number.