Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölüm ise beş alt başlığa ayrılmış ve gerekli temel kavramlar verilmiştir. Bu alt başlıkların birincisinde Fibonacci ve Lucas sayıları tanıtılmış ve gerekli özdeşlikler verilmiştir. İkincisinde hiperbolik sayı sistemi tanıtılmıştır. Üçüncüsünde dual sayı sistemi tanıtılmış ve gerekli teoremler verilmiştir. Dördüncüsün de ise kuaterniyonlar tanıtılmış ve alt başlık olarak reel kuaterniyonlar verilmiştir. Beşinci ve son alt başlıkta ise dual-hiperbolik sayı sistemi tanıtılmıştır. Üçüncü bölüm tezin orijinal kısmını oluşturmaktadır. Bu bölümde dual-hiperbolik Fibonacci ve Lucas sayıları tanımlanmıştır. Bu sayılar için toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri verilmiştir ve bu sayılar için beş faklı eşlenik tanımı yapılmıştır. Daha sonra ise Fibonacci sayıları için olan üreteç fonksiyonu baz alınarak dual-hiperbolik Fibonacci sayıları için üreteç fonksiyonu elde edilmiştir. Son olarak ise Fibonacci ve Lucas sayıları için önemli olan özdeşlikler dual-hiperbolik Fibonacci ve Lucas sayıları için tanımlanmıştır. Dördüncü bölümde bu tezin bir değerlendirilmesi yapılmış ve bundan sonra yapılacak araştırmalara yönelik önerilerde bulunulmuştur.
This thesis consists of four chapters. The first chapter is the introduction. The second part is divided into five sub-headings and basic concepts are given. In the first sub-headings, Fibonacci and Lucas numbers are introduced and necessary identities are given. In the second chapter, hyperbolic number system is introduced. In the third, dual number system is introduced and necessary theorems are given. In the fourth, quaternions are introduced and real quaternions are given as subheadings. In the fifth and last subheadings, dual-hyperbolic number system is introduced. The third section comprises the original part of thesis. In this section, dual-hyperbity Fibonacci and Lucas numbers are defined. In addition, subtraction and multiplication operations are given for these numbers and five different conjugates are defined for these numbers. Then, based on the generator function for Fibonacci numbers, generator function is obtained for dual hyperbolic Fibonacci numbers. Finally, the identities that are important for Fibonacci and Lucas numbers are defined for dual-hyperbolic Fibonacci and Lucas numbers. In the fourth chapter the general evaluation of thesis and recommendations for new researches are given.
