Ullah ve arshad iterasyon metodunun özel bir hali için bazı sabit nokta teoremleri

Abstract

Bu çalışmada, Ullah ve Arshad (Springer Plus (2016) 5(1), 1616) tarafından tanımlanan iterasyon metodunun basitleştirilmiş hali olan bir iteratif dizisinin, gecikmeli lineer olmayan bir Volterra integral denklemin çözümüne kuvvetli yakınsadığı gösterildi. Ayrıca bu integral denklemin çözümü için bir veri bağımlılığı sonucu ispatlandı. Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. İlk olarak tezdeki problemin tanıtıldığı giriş bölümü verilmiştir. Daha sonra, Temel Kavramlar adını alan ikinci bölümde çalışmada kullanılan temel tanım ve kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde ilk olarak integral denklemler tanıtılmış ve integral denklemlerin sınıflandırılması verilmiştir. Daha sonra sabit nokta kavramı ele alınmış ve Banach sabit nokta teoremi verilmiştir. Son olarak da bazı iterasyon metodları incelenmiştir. Bunlardan bazıları Picard iterasyon metodu, Mann iterasyon metodu, Ishikawa iterasyon metodu, Noor iterasyon metodu, Picard-S iterasyon metodu, Vatan two-step iterasyon metodu ve Ullah ve Arshad iterasyon metodudur. Üçüncü bölüm araştırma bulgularında kullanılacak olan bir lemma ile bitirilmiştir. Dördüncü bölümde bir iterasyon metodunun lineer olmayan Volterra integral denklemin çözümüne kuvvetli yakınsaması teoremi ispatlanmış ve bu integral denklemin çözümünün veri bağımlılığı araştırılmıştır. Daha sonra sonuçları desteklemek amacıyla bir örnek sunulmuştur. Beşinci bölümde ise çalışmada elde edilen sonuçlara ve görüşlere yer verilmiştir.

In this study, it is shown that the iterative sequence which is a simplified form of the iteration method introduced by Ullah and Arshad (Springer Plus (2016) 5(1), 1616), converges strongly to the solution of a nonlinear Volterra integral equation with delay. Also, it is proved the result of a data dependence for the solution of this integral equation. This thesis consists of five sections. Firstly, introductory section which it is introduced of problem in thesis is given. Afterwards, basic definitions and concepts, which are used in the study, are given in the second section, named as 'Basic Concepts'. In the third section, integral equations are introduced at first and the classification of integral equations is given. Then, it is discussed on the concept of fixed point and Banach Fixed Point Theorem is given. Finally, some iteration methods are examined. Some of them are Picard iteration method, Mann iteration method, Ishikawa iteration method, Noor iteration method, Picard-S iteration method, Vatan two-step iteration method and Ullah and Arshad iteration method. Third section is finished with a lemma to be used in research findings. In the fourth section, the strong convergence theorem of a iteration method to the solution of nonlinear Volterra integral equation is proven and the data dependence of the solution of this integral equation is researched. Then, an example is presented to support the results.