Tek değişkenli ve çok değişkenli pade yaklaşımlar

Abstract

Pade" yaklaşımları, bir fonksiyon değeri için rasyonel kesir yaklaşımının özel bir halidir. Bu yaklaşım mümkün olduğu kadar Taylor seri açılımı ile uyuşur. A(x) serisine L, M Pade" yaklaşımı [L/M]=Pl(x)/Qm(x) yardımıyla gösterilir. Pl(x) ve Qm(x) sırasıyla en fazla L ve M dereceden olabilen birer polinomdurlar. A(x) = £ajX' formal kuvvet serisi, Pl(x) ve Qm(x) polinomlarımn katsayılanm A(x)-PL(x)/QM(x) = 0(x- ') denklemi yardımıyla belirler. Pay ve payda herhangi bir sabitle çarpılabildiğinden [L/M] değişmez kalır. Böylece, normalleştirme şartı olan Qm(0)-1.0 yazılabilir. Sonuç olarak, Pl(x) ve Qm(x) polinomlarımn ortak çarpanı olmaması gerekir. Eğer, Pl(x) ve Qm(x) polinomlan aşağıdaki gibi yazılırsa, PLW = Po +PıX + p2x2 +--- + pLxL QM(x) = l + q,x + q2x2 +-. + qMx'.M QM(x) ile yukandaki denklem çarpılarak, denklemin katsayıları lineer hale getirilmiş olur. a0=P0, a^a^-p,, a2 +a,qx +a0q2 =p2, -saL+M +aL+M_1q1 + --- + aLqM =0 yazılabilir. Burada, eğer n< 0 ise a^O ve j>M ise qj s 0 alınır. Uygunluk olması açısından, derecelerin toplam ve farkı için, L+M = N ve L-M = J vmharfleri kullanılır. Bu çalışma altı genel bölümden oluştu. Birinci bölümde, Pade yaklaşımları ile ilgili bazı cebirsel özellikler yer aldı. İkinci bölümde ise, bu yaklaşımların sürekli kesirler ile bağlantısı detaylı bir şekilde anlatıldı. Üçüncü bölümde, k-değişkenli formal kuvvet serileri için Pade tipi yaklaşımların bazı tanım ve özellikleri verildi. Bu yaklaşımlar, P(t) / Q(t) biçiminde olup, Q(t) = n(l-x(i)t). {x(i),0

PADE APPROXEMANTS IN SEVERAL AND ONE VARIABLES SUMMARY The Pade" approximants are a particuler type of rational fraction approximation to the value of a function. The idea is to match the Taylor series expansion as far as possible. We denote the L, M Pade approximant to A(x) by [L/M]=PL(x)/QM(x) where Pl(x) is a polynomial of degree at most L and Qm(x) is a polynomial of degree at most M. The formal power series A(x) = İajXj j-0 determines the coefficients of Pl(x) and Qm(x) by the equation A(x)-PL(x)/QM(x) = 0(x- ) Since we can obviously multiply the numerator and denominator by any constant and leave [L/M] unchanged, we impose the normalization condition, Qm(0)=1.0 Finally we require that Pl and Qm have no common factors. If we write the coefficient of Pl(x) and Qm(x) as PlW = Po +PiX + P2x2 +- + pLxL QM(x) = l + q]x + q2x2+- + qMx1.M then we may multiply this equation by Qm(x) which linearizes the coefficient equations. We can write a0=Po< a^a^-p,, a2 +a,q, +a0q2 =p2, -,aL+M +aL+M_,qi +-- + aLqM =0 xWe further use conventionally L+M = N andL-M=J For the sum and difference of these degrees. The subject matter is divided six general areas. İn the first area, algebraic properties. The second main area is that of the connection with continued fraction is described in detail. The third main area gives the definition and some properties of a new family of Pade type approximants for k variate formal series. These approximants have the form P(t)/Q(t) where Q(t) = fl(l-x(i).t), {x(i), 0