Bazı özel tipli matrislerin lineer kombinasyonları üzerine

Abstract

Çalışmanın ilk iki bölümünde bazı gösterimler, kısa bir literatür bilgisi ve bazı ön bilgiler verilmektedir. Çalışmanın sonraki bölümlerinde c_{1}, c_{2} sıfırdan farklı kompleks sayılar ve M_{1}, M_{2} nxn boyutlu sıfırdan farklı kompleks matrisler olmak üzere, c_{1}M_{1}+c_{2}M_{2} biçimindeki lineer kombinasyon matrisleri ele alınmaktadır.Literatürde, M_{i}, i=1,2, matrisleri idempotent, değişmeli tripotent ve değişmeli hipergenelleştirilmiş projektör olduğunda lineer kombinasyon matrisinin, sırasıyla, tripotent veya idempotent, tripotent ve hipergenelleştirilmiş projektör olduğu tüm durumlar karakterize edilmiştir. Bu sonuçlar çalışmanın ilerleyen bölümlerinde yeri geldikçe verilmektedir. Bunların yanı sıra, lineer kombinasyonda içerilen matrislerin birbirinden farklı tipli olması durumunda da benzer bazı çalışmalar vardır.Çalışmada, önce, M_{i}, i=1,2, matrisleri idempotent olduklarında, lineer kombinasyon matrisinin involutif olduğu tüm durumlar karakterize edilmektedir. Sonra, lineer kombinasyondaki matrisler değişmeli tripotent olduklarında, ilk olarak c_{1}M_{1}+c_{2}M_{2} matrisinin tripotentliğine ilişkin mevcut teoremin yeni bir ispatı ve ikinci olarak lineer kombinasyon matrisinin idempotent veya involutif olduğu tüm durumların karakterizasyonları verilmektedir. Ayrıca, bazı özel koşullar altında, M_{i}, i=1,2, matrisleri kuadripotent olduklarında c_{1}M_{1}+c_{2}M_{2} matrisinin kuadripotent, tripotent ve idempotent olduğu tüm durumlar karakterize edilmektedir. Son olarak, lineer kombinasyonda içerilen matrisler değişmeli involutif ve involutif olduklarında lineer kombinasyon matrisinin, sırasıyla, tripotent ve idempotent veya involutif olduğu durumlar ortaya konulmaktadır.

It has been given some notations, a short literature information, and some preliminaries in the first two chapters of the work. The linear combination matrices of the form c_{1}M_{1}+c_{2}M_{2} have been considered in the sequel chapters of the work, where c_{1}, c_{2} are nonzero complex numbers and M_{1}, M_{2} are nxn nonzero complex matrices.In the literature, all situations where the linear combination matrix is tripotent or idempotent, tripotent, and hypergeneralized projector were characterized when the matrices M_{i}, i=1,2, are idempotent, commuting tripotent, and commuting hypergeneralized projectors, respectively. In the sequel chapters of this work, these results have been given in due course. Besides, there are also some similar studies when the types of matrices involved in the linear combination are different from each other.In the work, first, all situations where the linear combination matrix is involutive have been characterized when M_{i}, i=1,2, are idempotent matrices. Then, when the matrices involved in the linear combination are commuting tripotent, firstly a new proof of the available theorem related to the tripotency of the matrix c_{1}M_{1}+c_{2}M_{2}, and secondly the characterizations of all situations where the linear combination matrix is idempotent or involutive have been given. Furthermore, under some particular conditions, all situations where the matrix c_{1}M_{1}+c_{2}M_{2} is quadripotent, tripotent, and idempotent have been characterized when M_{i}, i=1,2, are quadripotent matrices. Finally, when the matrices included in the linear combination are commuting involutive and involutive, all situations where the linear combination matrix is tripotent and idempotent or involutive have been established, respectively.