Çok-girişli çok-çıkışlı sistemlerin frekans boyutundaki analizine yönelik poliharmonik denge denklemlerinin kullanıldığı yeni bir algoritma tasarımı

Abstract

Harmonik denge metodu doğrusal olmayan sistemlerin frekans cevabı karakteristiklerinin analizinde yaygın olarak kullanılan pratik bir araçtır. Klasik uygulamasında sinyal formuna ait harmonik sayısı veya sistemin derecesi yükseldikçe, açılımda elde edilen terim sayısındaki artış nedeniyle işlemler karmaşık bir hale gelmektedir. Bu probleme çözüm olarak hesaplamaları otomatik gerçekleştiren sembolik algoritmalar tanımlanmıştır. Bu çalışmalarda poliharmonik sinyal formu kullanılmasına karşın harmoniklerin temel harmoniğin tam sayı katları şeklinde ilişkili olduğu tek-tonlu durumlar düşünülmüştür. Bununla birlikte, doğrusal olmayan sistemlerin frekans cevabı karakteristiklerinin giriş sinyalinin frekans bileşenleri ile ilişkili olması bazen analizin harmonik olarak ilişkisiz frekans bileşenleri içerecek şekilde çok-tonlu olarak adlandırılan sinyal için gerçekleştirilmesine ihtiyaç duyulur. Gerçekleştirilen çalışmada, polinom tip doğrusal olmayan terimler içeren sistemlerin harmonik denge analizi için çok-tonlu giriş sinyallerini kapsayan yeni bir sembolik algoritma sunulmuştur. Bu amaçla analizde kullanılan poliharmonik sinyal formu için çok-tonlu etkileşimleri kapsayan yeni bir tanımlama yapılmıştır. Kullanılan sistemin genel yapısı için analizde kabul edilen çok-tonlu sinyal formuna ait genelleştirilmiş açılımlar gerçekleştirildikten sonra denge denklemlerini veren sembolik algoritma sunulmuştur. Elde edilen sonuçlar zaman boyutunda sayısal simülasyonlar ile doğrulanmış ve giriş bileşenlerinin genliklerinin çıkış spektrumundaki etkileri örneklerle sunulmuştur. Ayrıca yöntemin çok-girişli çok-çıkışlı (MIMO) sistemlere genişletilerek algoritmanın uygulama alanı artırılmıştır. Bu amaçla MIMO sistemlerin sunumu için bir ifade tanımlandıktan sonra SISO için geliştirilen algoritma yapısı genişletilmiştir. Yöntem iki-giriş iki-çıkışlı Duffing modeli olarak tanımlanmış bir elektriksel sistem üzerinde sunulmuştur. Zaman boyutundaki sonuçlara ek olarak frekans cevabı karakteristikleri sunulmuş, bunlar simülasyonlar ile elde edilen sonuçlar kullanılarak doğrulanmıştır. Bunun yanında uygulanan giriş sinyalinin genlik ve frekans gibi parametrelerinin frekans cevabı üzerindeki etkileri incelenmiştir.

Harmonic balance method is a practical tool which is used widely for the analysis of frequency response characteristics. In the classical application,the method become complex because of the increase in the number of terms as the number of harmonics or the degree of nonlinear terms are increased. As a solution to this problem symbolic algorithms are developed which performs automated computations for systems with polynomial nonlinearities has been developed. Though the algorithms have polyharmonic waveform, commensurate type signal forms where the harmonics are selected as integer multiples of the main harmonic are considered. However, the dependence of the frequency response of nonlinear systems to the frequency content of the input sometimes requires the analysis to be realized for incommensurate frequency components which called multitone signals. In this study a new algorithm including multitone signal forms is presented for the harmonic balance analysis of nonlinear systems with polynomial nonlinearities. For this purpose a polyharmonic signal form which includes multitone interactions is defined. Generalized expressions are derived for the assumed system structure and signal forms and the symbolic algorithm for obtaining the balance equations is presented. The method is validated using time domain simulations and the effect of the amplitudes of the input components on the output spectrum is illustrated by examples. In addition, the application area of the method is extended to include multi-input multi-output (MIMO) systems. For this purpose after an expression is defined for the representation of MIMO systems, the algorithm structure for SISO is adapted to include MIMO systems. The method is illustrated on an electrical system described by two-input two-output Duffing model. In addition to time domain results, frequency domain characteristics are investigated and the results are validated by numerical simulations. The effects of the parameters of the input such as amplitude and frequency on the frequency response characteristics are also investigated.