ÖZET Anahtar Kelimeler: Lineer Kodlar, Non-Hamming Metrik, MDS Kodlar, Quaternary Kodlar, Galois Halkaları, Tam Ağırlık Sayaçları. Bu çalışmada; p, non-Hamming, Rosenbloom-Tsfasman (RT) metriğine göre lineer kodların yapılan incelendi. Birinci bölüm diğer bölümler için bir hazırlık niteliğinde olup, bazı temel kavramlar, önermeler ve teoremler verilmiştir. İkinci bölümde ise; kodların yapılarından faydalanılarak tanımlanan standart form matrisi ile bu yeni metriğe göre, Fq üzerindeki lineer ve devirli kodların minimum uzaklığının kolaylıkla tespit edilebildiği gösterildi. Bu metriğe bağlı olarak lineer kodların dualleri incelendi ve MDS kodların ağırlık sayaçları bulundu. Son olarak, belli bir uzunluk, boyut ve minimum uzaklığa sahip minimum kodların sayısını veren bir formül ispatlandı. Üçüncü bölümde, Z4 üzerindeki quaternary kodlar için bu metriğe göre bir standart form matrisi tanımlandı ve bu standart form matrisi ile minimum uzaklık arasında ilgi kuruldu. Bu standart form matrisi kullanılarak MDS olma şartlan ve bir MDS kodun ağırlıkları verildi. Ayrıca bazı devirli kodlarında MDS olduğu gösterildi. Bu bölümün sonunda ise, tam ağırlık sayacı tanımlandı ve MacWilliams özdeşliği ispatlandı. Dördüncü bölümde ise; Galois halkalan üzerinde yine bu metriğe göre tanımlı kodlar için bir standart form matrisi tanımlandı ve yine bu standart formdan faydalanılarak minimum uzaklığın nasıl hesaplanabileceği gösterildi. MDS olma şartlan verildi. MDS kodların ağırlıklannı hesaplayan formüller bulundu. Bazı şartlar altında bazı devirli kodlann MDS olduğu gösterildikten sonra son kısımda ise, R Galois halkasını göstermek üzere Mnxs(R) üzerindeki lineer kodlar için bir tam ağırlık sayacı tanımlandı ve MacWilliams özdeşliği ispatlandı. vii
THE STRUCTURE OF LINEAR CODES WIHT RESPECT TO ROSENBLOOM-TSFASMAN METRIC SUMMARY Keywords: Linear Codes, Non-Hamming Metric, MDS Codes, Quaternary Codes, Galois Rings, Complete Weight Enumerator. In this study, we explore the structure of linear codes with respect to the p Rosenbloom-Tsfasman (RT) metric and we answer some fundamental questions with respect to this new metric. We study linear codes over fields, integers modulo 4 and Galois rings, respectively. Also, we define the complete weight enumerators and prove their Mac Williams identities. The first chapter is a preparation for the followings. Some fundamental concepts, propositions and theorems have been given in this chapter. In the second chapter, by taking advantage of their structure, we show that the minimum distance of linear and cyclic codes over Fq can be determined easily. We investigate the dual of linear codes and the weight enumerator of MDS codes with respect to this new metric. Finally, we prove a formula which gives the number of minimum codes with a particular distance, dimension and minimum distance. In the third chapter; we explore the structure of quaternary codes over Z4 with respect to the p metric. We define a standard form for the generator matrix with respect to this metric and relate the standard form to the minimum distance of codes. Using the standard form we give the conditions of codes for being MDS and the weights of a MDS code. Some cyclic codes are also shown to be MDS. Finally, we prove a MacWillams identity for a complete weight enumerator. VIIIIn the fourth chapter, we explore the structure of codes over Galois rings. We define a standard form with respect to the p metric. Taking advantage of this standard form we show how to compute the minimum distance of codes by considering their generator matrices only. Using the standard form we give the conditions of codes for being MDS and count the weights of a MDS code. Some cyclic codes are also shown to be MDS. At the end, we prove a MacWilliams identity with respect to this new metric for the complete weight enumerator of linear codes over Mnxs (R) where R is a Galois ring. IX
