Parabolik denklemler için ters problemlerin çözümünün asimptotik davranışı

Abstract

Asimptotik davranış, ters problem, ek integral şartı, parabolik ve pseudo-parabolik denklem. Son yıllarda matematiksel fizik alanında önemli mesafeler katedilmiştir. Özellikle de fiziksel olayların matematik modellemesi üzerine kaydadeğer çalışmalar yapılmıştır. Bunlardan biri de iyi konulmamış (ill-posed) problemler sınıfından olan ters problemler üzerine yapılan çalışmalardır. Bu çalışmalarda daha çok ters problemlerin çözümünün varlığı-tekliği ve çözümlerin uzun zaman davranışı araştırılmıştır. Bu çalışmada ters problemler için varlık teklik probleminden ziyade -çünkü bu alanda pek çok çalışma yapılmıştır- üzerinde pek çalışılmamış olan parabolik ve pseudo- parabolik denklemler için ters problemlerin çözümünün asimptotik davranışı araştırıldı. İlk bölümde ters problemlerle ilgili bu zamana kadar yapılan çalışmalar anlatıldı. Daha sonra fonksiyon uzayları ve bazı temel eşitsizlikler verildi. İkinci bölümde doğrusal parabolik denklemler için direkt problem ifade edildikten sonra direkt problemin çözümünün varlığı-tekliği araştırıldı. Problemin çözümü ile ilgili bazı kestirimler elde edildi. Üçüncü bölümde parabolik ve pseudo-parabolik denklemler için ters problemler ifade edildi ve ters problemlerin çözümünün varlığı-tekliği araştırıldı. Dördüncü bölümde, parabolik ve pseudo-parabolik denklemler için ters problemlerin çözümünün asimptotik davranışı araştırıldı, ikinci mertebeden, dördüncü mertebeden ve yüksek mertebeden parabolik denklemler için bazı varsayımlar altında ek integral şartı ile verilen ters problemlerin çözümünün t -» +qo asimptotik davranışı hakkında bazı sonuçlar elde edildi.

ASYMPTOTIC BEHAVIOUR OF THE SOLUTION TO THE INVERSE PROBLEMS FOR PARABOLIC EQUATIONS SUMMARY Key Words: Asymptotic behaviour, inverse problem, integral overdetermination, parabolic and pseudo-parabolic equation In recent years there have been significant developments in mathematical physics in the direction of the theory of ill-posed problems, in particular inverse problems. From the point of view of the applications, this kind of problems is closely related to mathematical modelling of physical processes in strongly inhomogeneous medium. In this thesis, the problem of asymptotic behaviour of the solution to the inverse problem for a parabolic and pseudo-parabolic equation with an unknown source function is studied. In the first chapter it is introduced inverse problems and developments of this type problems, and given some functional spaces and related integral inequalities. In the second chapter; direct problem for parabolic equations is given and some estimates are obtained. In third chapter; we introduced the inverse problem for parabolic and pseudo- parabolic equations with integral overdetermination. The existence and uniquessnes theorems are proved. In the fourth chapter; long-time behaviour of the solution to the inverse problem for parabolic equation is investigated. Particularly, asymptotic behaviour of the second order, fourth order and the high order problems with integral overdetermination is studied. Some results is obtained. VI