Generalized Fibonacci and Lucas numbers of the form kx2

Abstract

Genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas dizilerinin özelliklerini içeren araştırmalar zamanla matematikçilerin ilgisini çekmiştir. Bu araştırmalar hangi durumlarda genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas dizilerinin terimlerinin tamkare (=□) oldukları sorusunu akıllara getirmiştir. Bu tezde kx^2 biçimindeki genelleştirilmiş Fibonacci sayıları U_{n}(P,Q) ve genelleştirilmiş Lucas sayıları V_{n}(P,Q), Q=±1 ve k=5 veya k=7 özel şartları altında incelendi. Birinci bölümde, Fibonacci'nin hayatı ve Fibonacci ve Lucas dizileri hakkında tarihsel bilgiler verildi. Ardından, genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas dizilerinin tanımları verildi. Bu dizilerin terimleri ile bazı Diyofant denklemlerinin çözümleri arasındaki yakın ilişkiden dolayı Diyofant denklemleri ve Diyofant denklemlerinin özel durumları olan Pell denklemlerinden bahsedildi. Ayrıca, kx^2 biçimindeki genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayılarını içeren literatür bilgisi verildi. İkinci bölümde, genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayılarının en önemli özellikleri listelendi. İkinci bölümün alt bölümlerinde, 5x^2 biçimindeki genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayıları, Q=±1 özel şartları altında ele alındı ve bazı sonuçlar elde edildi. Elde edilen bu sonuçlar yardımıyla, genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas dizilerinin terimleri ile bazı Diyofant denklemlerinin çözümleri arasındaki yakın ilişki gözlemlendi. Ayrıca, U_{n}(P,1)=5U_{m}(P,1)□, U_{n}(P,-1)=5U_{m}(P,-1)□, V_{n}(P,1)=5V_{m}(P,1)□, ve V_{n}(P,-1)=5V_{m}(P,-1)□ denklemleri çözüldü. Üçüncü bölümde, U_{n}(P,1)=7□, U_{n}(P,1)=7U_{m}(P,1)□, V_{n}(P,1)=7□, ve V_{n}(P,1)=7V_{m}(P,1)□ denklemleri çözüldü.

Investigations of the properties of generalized Fibonacci and Lucas sequences have been able to hold mathematician's interest over time. These investigations have given rise to questions in when the terms of generalized Fibonacci and Lucas sequences are perfect square (=□). In this thesis, it is dealt with generalized Fibonacci numbers U_{n}(P,Q) and generalized Lucas numbers V_{n}(P,Q) of the form kx^2 with the special consideration that Q=±1 and k=5 or k=7. In Chapter 1, the historical information about Fibonacci's life and Fibonacci and Lucas sequences are briefly mentioned. Then, the definitions of generalized Fibonacci and Lucas sequences are given. Since there is a close relation between the terms of these sequences and the solutions of certain Diophantine equations, it is mentioned about Diophantine equations and Pell equations, which are the special cases of Diophantine equations. Furthermore, the literature concerning generalized Fibonacci and Lucas numbers of the form kx^2 are given. In Chapter 2, the most important properties of generalized Fibonacci and Lucas numbers are listed. In the succeeding subchapters, generalized Fibonacci and Lucas numbers of the form 5x^2 are considered with special consideration that Q=±1 and some results are obtained. By the help of these results, it is observed the close relation between the terms of generalized Fibonacci and Lucas sequences and the solutions of certain Diophantine equations. Also, the equations U_{n}(P,1)=5U_{m}(P,1)□, U_{n}(P,-1)=5U_{m}(P,-1)□, V_{n}(P,1)=5V_{m}(P,1)□, and V_{n}(P,-1)=5V_{m}(P,-1)□ are solved. In Chapter 3, the equations U_{n}(P,1)=7□, U_{n}(P,1)=7U_{m}(P,1)□, V_{n}(P,1)=7□, and V_{n}(P,1)= 7V_{m}(P,1)□ are solved.