Kuadratik matrislerin doğrusal bileşimlerinin kuadratikliğinin karakterize edilmesi

Abstract

Bölüm I'de çalışmanın içeriği hakkında kısaca bazı bilgiler verilmiştir. Ayrıca, bazı özel tipli matrislerin doğrusal bileşimleri ile ilgili literatürde bulunan bazı çalışmalar tanıtılmıştır. Bölüm II, sonraki bölümlere bir hazırlık olarak yazılmıştır. Bu bölümde, daha sonra kullanılacak olan ispatsız olarak bazı teoremler ve temel kavramlar verilmiştir. Çalışmanın III. Bölüm'ünde r_1 ve r_2 sıfırdan farklı karmaşık sayılar, Q_1 ve Q_2 nxn boyutlu karmaşık kuadratik matrisler olmak üzere, r_1Q_1+r_2Q_2 doğrusal bileşiminin kuadratik matris olduğu bütün durumlar karakterize edilmiştir. Bu bölümde elde edilen sonuçlar, doğrusal bileşimin kuadratik matris olması için gerekli katsayı eşitlikleri ile birlikte matris eşitliklerinden oluşmaktadır. Çalışmanın IV. Bölüm'ünde, III. Bölüm'deki esas sonucun r_1Q_1+r_2Q_2 doğrusal bileşimindeki Q_1 ve Q_2 matrislerinin değişmeli olduğu durumu için alternatif bir ispat verilmiştir. Bu bölümdeki sonuçlar, doğrusal bileşimi oluşturan matrislerin köşegen biçimleri kullanılarak ifade edilmiştir. III. ve IV. Bölüm sonlarında, bu bölümlerde elde edilen sonuçları destekleyici sayısal örnekler verilmiştir. Ayrıca, bu sonuçların sağlaması Mathematica yazılımı kullanılarak gerçekleştirilmiştir. İlgili program kodları ve çıktıları da Ek A ve Ek B'de verilmiştir. V. Bölüm'de, çalışmada elde edilen sonuçların kısaca tanıtımı yapılmış ve öneriler verilmiştir.

In Chapter I, some brief information about the content of the work is given. In addition, some studies about the linear combinations of some special types of matrices in the literature are introduced. Chapter II is written as a preparation for the next chapters. In this chapter, some theorems without proofs and fundamental concepts, which will be used later, are given. In Chapter III, all the situations, where the linear combination of the form r_1Q_1+r_2Q_2 is a quadratic matrix when r_1 and r_2 are nonzero complex numbers and, Q_1 and Q_2 are nxn complex matrices, are characterized. The results obtained in this chapter consist of matrix equalities together with coefficient equalities which enable the linear combination to be a quadratic matrix. In Chapter IV, an alternate proof of the main result of Chapter III in the particular case that Q_1 and Q_2 in the linear combination r_1Q_1+r_2Q_2 are commuting matrices, is given. The results in this chapter are given in terms of diagonal forms of matrices which form the linear combination. At the end of Chapters III and IV, numerical examples are given to exemplify the results which are obtained in these chapters. Verification of these results was performed by using Mathematica software. The codes and outputs of associated programs are given in Appendix A and Appendix B. In Chapter V, the obtained results in this study are briefly introduced and some suggestions are given.