Some identities and diophantine equations including generalized fibonacci and lucas numbers

Abstract

İlk bölümde, ilk olarak, Fibonacci ve Lucas sayılarından kısaca bahsedilmiştir. Ayrıca, genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas dizilerinin tanımları verilmiştir. Sonra genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas dizileriyle ilgili literatür özeti verilmiştir. İkinci bölümde, genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayılarını içeren bazı özdeşlikler ve toplam formülleri elde edilmiştir. Bunların bazıları yenidir ve bazıları da iyi bilinir. Bu özdeşliklerin ve toplam formüllerinin bazıları kullanılarak, 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ), ( ) ( ) m n m n V Q V modV U Q U modV mn r r m mn r r m + ≡ − − ≡ − − + ve 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , mn mn V Q V modU U Q U modU mn r r m mn r r m + ≡ − ≡ − + gibi genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayılarını içeren bazı kongrüanslar verilmiştir. Üçüncü bölümde, Fibonacci ve Lucas sayılarını içeren bazı temel teoremler ve özdeşlikler verildikten sonra 2 cx formunda olan Fibonacci ve Lucas sayıları tespit edilmiştir. Dördüncü bölümde ise bazı şartlar altında 2 cx formunda olan genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayıları, ikinci bölümdeki genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayılarını içeren kongrüanslar kullanılarak tespit edilmiştir.

In the first chapter, firstly, Fibonacci and Lucas numbers are mentioned briefly. Also the definitions of the generalized Fibonacci and Lucas sequences are given. Then, the review of the literature concerning generalized Fibonacci and Lucas sequences are given. In the second chapter, some identities and summation formulas containing generalized Fibonacci and Lucas numbers are obtained. Some of them are well known while the remaining ones new. Using some of these identities and summation formulas, it is given some congruences concerning generalized Fibonacci and Lucas numbers such as 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) , ( ) ( ) m n m n V Q V modV U Q U modV mn r r m mn r r m + ≡ − − ≡ − − + , and 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , mn mn V Q V modU U Q U modU mn r r m mn r r m + ≡ − ≡ − + . Fibonacci and Lucas numbers of the form 2 cx are determined after some fundamental theorems and identities concerning Fibonacci and Lucas numbers are given in the third chapter. In the fourth chapter, generalized Fibonacci and Lucas numbers of the form 2 cx are determined under some assumptions using congruences concerning generalized Fibonacci and Lucas numbers given in the second chapter.