Genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas dizileri ve bazı uygulamaları

Abstract

Bu çalışmanın amacı, Fibonacci ve Lucas dizilerinin genelleştirmeleri olan U_n , V_n ve u_n , v_n dizilerini incelemek ve bu dizilerin özelliklerini kullanarak bazı Diophantine denklemlerinin tüm tamsayı çözümlerini araştırmaktır.İlk bölümde, Fibonacci ve Lucas dizilerinin tanımları verildi. Ayrıca bu sayı dizilerinin elemanlarının bölünebilme özellikleri ispatlandı.İkinci bölümde genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas dizilerinin tanımları verildi. Genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas dizileriyle ilgili bilinen özdeşliklerin yanında, bazı yeni özdeşliklerin de verildiği teoremler ispatlandı. Daha sonra genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayıları ile bazı Diophantine denklemlerinin tüm tamsayı çözümleri arasındaki bağlantılar karakterize edildi.Üçüncü bölümde U_n , V_n ve u_n , v_n dizilerinin elemanlarının bölünebilme özellikleri ispatlandı.Dördüncü bölümde ise, elemanları genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayıları olan matrisler kullanılarak bazı özdeşlikler elde edildi. Bu özdeşliklerden hareketle, farklı Diophantine denklemlerinin tüm tamsayı çözümlerinin elde edildiği teoremler verildi.

The aim of this study is to observe the sequences U_n , V_n and u_n , v_n which are the generalizations of the Fibonacci and Lucas sequences and to investigate all solutions of some Diophantine equations, by using properties of these sequences.In the first section, definitions of the Fibonacci and Lucas sequences are given. Furthermore, the divisibility properties of the elements of these number sequences are proved.In the second section, generalizations of the Fibonacci and Lucas sequences are defined. Some new identities related to the generalized Fibonacci and Lucas sequences are proved. Furthermore, relations between the generalized Fibonacci and Lucas sequences and all integer solutions of some Diophantine equations are characterized.In the third section, the divisibility properties of the sequences U_n , V_n and u_n , v_n are proved.Finally, in the fourth section, by using the matrices which have the elements of the generalized Fibonacci and Lucas numbers, some identities are obtained. By considering these identities, all integer solutions of different Diophantine equations are obtained in some theorems.