Matrisler yardımıyla genelleştirilmiş fibonacci ve lucas sayıları ile ilgili özdeşlikler üzerine = On identities related to generalized fibonacci and lucas numbers by the help of matri̇ces

Abstract

Leonardo Fibonacci, Leonardo Pisano veya Pisa'lı Leonard olarak da bilinir. Avrupa orta çağının en genç ve başarılı matematikçisi olarak tanınır. Babası, Fibonacci'ye aile ticaretini takip etmesi ve hesaplama sanatını öğrenmesi için Cezayir'in Bugia şehrinde ilk eğitimini aldırır. Burada Fibonacci Hint-Arap hesap teknikleriyle tanışır. Hint-Arap sistemindeki matematiksel hesaplamaların nasıl yapıldığını açıklayan Liber Abaci kitabını yazar. Şüphesiz ki Fibonacci'yi tanınır yapan Liber Abaci kitabında bahsettiği 1,1,2,3,5,8,13,21,… sayı dizisidir. Bu sayı dizisi Fibonacci dizisi olarak bilinir. Bu dizi elemanlarına Fibonacci sayıları denir. Başlangıç koşulları farklı seçildiğinde oluşan 2,1,3,4,7,11,18,… sayı dizisine ise Lucas dizisi denir. Literatürde bu iki dizi ile ilgili yapılan çalışmalar sonucunda birçok özdeşlik elde edilmiştir. Bu özdeşliklerin ispatında matrislerden, matematiksel tümevarımdan ve Binet formüllerinden yararlanılmıştır. Birinci bölümde çalışmanın içeriği hakkında bazı bilgiler kısaca verilmiştir. Ayrıca karesel matrisler ile ilgili literatürde bulunan bazı çalışmalar tanıtılmıştır ve alınan matrislerin genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayıları ile ilgili özdeşliklerin türetilmesinde nasıl kullanıldığından bahsedilmiştir. İkinci bölümde, ilk olarak genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayılarının tanımları verilmiştir. Daha sonra bu sayılarla ilgili bazı özelliklere yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, ilk olarak terimleri {0,1,±a,±b,a+b,-ab} olan 2×2 boyutlu matrisler seçilerek bu matrislerin n. kuvveti hesaplanmıştır. Hesaplamalar yapılırken seçilen kare matrislerin özdeğerleri ve özvektörleri kullanılarak köşegenleştirilip n. kuvvetleri hesaplanmıştır. Daha sonra buradan hareketle elde edilen matrislerle genelleştirilmiş Fibonacci sayısı ve genelleştirilmiş Lucas sayısı olan bazı yeni 2×2 boyutlu matrisler elde edilmiştir. Daha sonra terimleri {0,1,±k,t,2t,±kt,k^2+2t} olan bazı 2×2 boyutlu matrisler seçilerek bu matrislerinde n. kuvveti hesaplanmıştır. Elde edilen bu matrisler yardımıyla da yukarıda verilen özdeşliklere benzer yeni özdeşlikler elde edilmiştir. Dördüncü bölümde ise 3×3 boyutlu matrislere yer verilmiştir. Bu bölümde bazı kaynaklardan alınan 3×3 boyutlu matrislerin özdeşlik elde etmede nasıl kullanıldığından bahsedilmiştir. Daha sonra 3×3 boyutlu bazı matrisler verilip n. kuvvetleri köşegenleştirme yöntemi kullanılarak hesaplanmıştır. Bu matrisler yeni özdeşlikler elde etmek için kullanılmıştır. Bu özdeşliklerden bazıları aşağıda verilmiştir. Beşinci bölümde sonuç ve öneriler yer almaktadır.

Leonardo Fibonacci is also known as Leonardo Pisano or Leonard of Pisa. He is recognized as the youngest and most successful mathematician of the European Middle Ages. His father arranged for Fibonacci to receive his early education in Bugia, Algeria, to follow the family trade and learn the art of calculation. Here Fibonacci was introduced to Indo-Arabic calculus techniques. He wrote the book Liber Abaci, explaining how to perform mathematical calculations in the Indo-Arabic system. Undoubtedly, the number sequence 1,1,2,3,5,5,8,13,21,... mentioned in Liber Abaci is what made Fibonacci famous. This sequence of numbers is known as the Fibonacci sequence. The elements of this sequence are called Fibonacci numbers. The sequence of numbers 2,1,3,4,4,7,11,18,... when the initial conditions are chosen differently is called the Lucas sequence. Many identities have been obtained as a result of the studies on these two sequences in the literature. Matrices, mathematical induction and Binet formulas were used in the proof of these identities. In the first section, some information about the content of the study is briefly given. In addition, some works in the literature on quadratic matrices are introduced and how these matrices are used to derive the identities for the generalized Fibonacci and Lucas numbers are mentioned. In the second section, first the definitions of generalized Fibonacci and Lucas numbers are given. Then, some new 2×2 matrices with generalized Fibonacci number and generalized Lucas number were obtained with the matrices obtained from here. Then some 2×2 matrices with terms {0,1,±k,t,2t,±kt,k^2+2t} were selected and the nth power of these matrices was calculated. With the help of these matrices, new identities similar to the identities given above were obtained. In the fourth section, 3×3 dimensional matrices are included. In this section, it is mentioned how 3×3 dimensional matrices taken from some sources are used to obtain identities. Then some 3×3 matrices are given and their nth power is calculated using diagonalization method. These matrices were used to obtain new identities. Some of these identities are given below. The fifth section contains conclusions and recommendations.