Dört boyutlu Öklid uzayında çatılandırılmış genel ve çatılandırılmış η_3-slant helisler = Framed general and framed slant helices in the Euclidean −space

Abstract

Bu tez 5 bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde helis eğrilerinin gerçek hayattaki kullanım alanlarından ve bir eğrinin helis olabilmesi için eğrilik ve burulma arasındaki ilişkiden bahsedilmiştir. Ayrıca genel helis, slant helis ve B_2-slant helis kavramları ile ilgili kuramsal gelişmeler hakkında literatür özeti yapılmıştır. İkinci bölüm dört alt bölümde ele alınmıştır. İlk alt bölümde Öklid uzayında temel tanımlar verilmiştir. Daha sonra bu uzayda bir eğrinin, bir t anındaki Frenet çatısı ve eğrilikleri açıklanmıştır. Bu alt bölümde Öklid uzayı ile ilgili tanımlar doğal sayı olmak üzere n-boyutta verilmiştir. Fakat diğer alt bölümlerde ise tez çalışmasında kullanılacak olan kavramlar olması sebebiyle ilgili tanım ve teoremler özel olarak 4-boyutlu uzayda verilmiştir. İkinci alt bölümde 4-boyutlu Öklid uzayında çatılandırılmış eğri tanımlanmış ve bu çatının her bir noktasındaki genelleştirilmiş teğet, genelleştirilmiş esas normal, genelleştirilmiş binormal ve genelleştirilmiş ikinci binormal vektörleri verilmiştir. Üçüncü alt bölümde 3-boyutlu uzayda oldukça fazla kullanım alanı olan genel helislerin 4-boyutlu uzayda tanımı verilmiş ve bir eğrinin genel helis olabilmesi için gerek ve yeter şartları incelenmiştir. İkinci bölümün son alt bölümünde ise eğrinin B_2 ikinci birim binormal vektörünün sabit bir vektörle sabit açı yapması sonucu oluşan eğrinin B_2-slant helis olduğu açıklanmış ve eğrinin B_2-slant helis olması durumunda eğrilikler arasındaki bağıntılar verilmiştir. Üçüncü bölümde 4-boyutlu Öklid uzayında çatılandırılmış genel helisler kavramı ele alınmıştır. Bu uzayda çatılandırılmış genel helisin, genelleştirilmiş teğet vektörün sabit bir vektörle sabit açı yapması sonucu oluşan eğri olduğu açıklanmıştır. Daha sonra çatılandırılmış bir eğrinin eğriliklerinden oluşan sabit değerli bir p^2/q^2 +(1/r (p/q)' )^2 denklemin sağlanmasının bu eğrinin çatılandırılmış bir genel helis olabilmesi için gerek ve yeter şart olduğu ifade edilmiştir. Bu teorem yardımıyla elde edilen denklemin türevinin alınması sonucu bulunan (p/q)(p/q)'+(1/r (p/q)' )(1/r(p/q)')'=0 denklemin sağlanması halinde bu eğrinin çatılandırılmış bir genel helis olabilmesi için gerek ve yeter şart verilmiştir. Son olarak p(s),q(s) birinci dereceden ve t(s) ikinci dereceden diferensiyellenebilir fonksiyonlar yardımıyla elde edilen p/q=C_1cost+C_2sint eşitliğin sağlanması halinde bu eğrinin çatılandırılmış bir genel helis olabilmesi için gerek ve yeter şart verilmiştir. Dördüncü bölümde ise 4-boyutlu Öklid uzayında B_2-slant helisler konusunu genelleştirmek, kullanım alanlarını arttırmak ve yapılacak olan yeni çalışmalara zemin hazırlamak için bu uzayda singüler noktalara sahip olan çatılandırılmış eğriler ile incelenmiştir. İlk olarak Önder ve ark. tarafından ele alınan 4-boyutlu Öklid uzayında B_2-slant helisler ve Akyiğit, Yıldız tarafından ele alınan 4-boyutlu Öklid uzayında çatılandırılmış normal eğriler makalelerinden yola çıkarak 4-boyutlu Öklid uzayında çatılandırılmış η_3-slant helislerin tanımı verilmiştir. Burada 4-boyutlu Öklid uzayında çatılandırılmış η_3-slant helis; genelleştirilmiş η_3-ikinci binormal vektörünün, sabit bir doğrultuyla sabit bir açı yapması sonucu oluşan eğri olarak tanımlanmıştır. Daha sonra çatılandırılmış eğrinin eğriliklerinden oluşan sabit değerli bir (r/q)^2+(1/p^2)((r/q)'))^2 denklemin sağlanması halinde bu eğrinin çatılandırılmış bir η_3-slant helis olabilmesi için gerek ve yeter şartı ifade eden teorem verilmiştir. Bu teorem yardımıyla elde edilen denklemden yola çıkarak ikinci dereceden diferensiyellenebilir bir f fonksiyonu bulunmuş ve bu fonksiyonun f(s)p=d/ds(r/q), d/dsf(s)=-p(r/q) denklemlerini sağlaması halinde çatılandırılmış eğrinin bir çatılandırılmış η_3-slant helis olabilmesi için gerek ve yeter şartı verilmiştir. Son olarak q(s),r(s) birinci dereceden ve β(s) ikinci dereceden diferensiyellenebilir fonksiyonlar yardımıyla elde edilen r/q=Acosβ(s)+Bsinβ(s) eşitliğin sağlanması halinde bu eğrinin çatılandırılmış bir η_3-slant helis olabilmesi için gerek ve yeter şart verilmiştir. Sonuç bölümünde ise üçüncü bölümde, 4-boyutlu uzayda çatılandırılmış genel helisler için genelleştirilmiş eğrilikleri p,q,r cinsinden bulunan bir karakterizasyon verilmiştir. Ardından, bu karakterizasyonun sağlanması halinde elde edilen farklı bir karakterizasyon daha verilmiştir. Son olarak ise uygun olarak seçilen birinci ve ikinci derecen diferensiyellenebilir fonksiyonlar yardımıyla 4-boyutlu uzayda çatılandırılmış genel helisler için bulunan bir karakterizasyonu daha verilmiştir. Ayrıca bu bölümde, dördüncü bölümde 4-boyutlu uzayda çatıandırılmış η_3-slant helisler için genelleştirilmiş eğrilikleri cinsinden bulunmuş bir (r/q)^2+(1/p^2)((r/q)')^2 karakterizasyonu verilmiştir. Ardından, bu veriden hareketle çatılandırılmış η_3-slant helisler için ikinci dereceden diferensiyellenebilir bir fonksiyon yardımıyla elde edilen farklı bir karakterizasyon verilmiştir. Son olarak ise uygun olarak seçilen birinci ve ikinci dereceden diferensiyellenebilir fonksiyonlar yardımıyla çatılandırılmış η_3-slant helis için elde edilmiş bir karakterizasyon daha verilmiştir. Bu bölümün sonunda ise gelecek çalışmalar için öneriler verilmiştir.

This thesis consists of 5 sections. In the first section, real-life applications of helix curves in our daily life, the relationship between curvature and torsion for a curve to be a helix, and a literature review about the concepts of the general helix, slant helix, and B_2-slant helix are given. The second section is divided into four subsections. In the first subsection, basic definitions and notions are given in Euclidean space. After that, a curve in this space, the curvatures and the Frenet frame of a curve are mentioned. In this subsection, the definitions related to higher-dimensional Euclidean space are given. However, in the other subsections, the necessary definitions and theorems are given for 4-dimensional space since the concepts used in this thesis depend on 4-dimensional space. In the second subsection, a framed curve (γ,η) in 4-dimensional Euclidean space is defined, and the generalized tangent v, generalized principal normal η_1, generalized binormal η_2 and generalized second binormal η_3 vectors at each point of this generalized frame are introduced. In the third subsection, the definition of general helices, which are widely used in 3-dimensional space, in 4-dimensional space, and the necessary and sufficient conditions for a curve to be a general helix are examined. In the last subsection of the second part, B_2-slant helix is defined as a curve formed by the relation that the second unit binormal vector B_2- of this curve makes a constant angle with a constant vector. Moreover, the relations between the curvatures are presented while the curve is a B_2-slant helix. In the third section, the notion of framed general helices in 4-dimensional Euclidean space are discussed. It is defined that the framed general helix in this space is the framed curve formed as a result of the generalized tangent vector v making a constant angle θ with a constant vector U. Then, the theorem expressing the necessary and sufficient condition for a framed curve to be a framed general helix is given as a constant value p^2/q^2 +(1/r (p/q)')^2 equation consisting of the generalized curvatures p,q,r of the framed curve is provided. The necessary and sufficient conditions are given for this framed curve to be a framed general helix as the equation (p/q) (p/q)'+(1/r (p/q)')(1/r (p/q)')'=0 which is found by taking the derivative of the equation with the help of this theorem, is satisfied. Finally, the necessary and sufficient conditions are given for this framed curve to be a framed general helix, such as the equality p/q=C_1cost+C_2sint obtained with the help of first and second-order differentiable functions p(s),q(s) and t(s) are provided. In the fourth section, B_2-slant helices in 4-dimensional Euclidean space are examined with framed curves that can have singular points in order to generalize the subject of B_2-slant helices, to increase their usage areas, and prepare the base for new studies. The definition of framed η_3-slant helices in 4-dimensional Euclidean space is given considering a study on B_2-slant helices in 4-dimensional Euclidean space presented by Önder et al., and a study on the framed curves in 4-dimensional Euclidean curve discussed by Akyiğit and Yıldız. Here the framed η_3-slant helix in 4-dimensional Euclidean space is defined as the framed curve formed as a result of the generalized second binormal vector η_3 making a constant angle θ with a fixed direction U. Then, if a constant value (r/q)^2+(1/p^2)((r/q)')^2 equation consisting of the generalized curvatures p,q,r of the framed curve is provided, the theorem expressing the necessary and sufficient condition for this framed curve to be a framed η_3-slant helix is given. Starting from the equation obtained with the help of this theorem, a quadratic differentiable function f is found and if this function satisfies the f(s)p=d/ds (r/q) and d/ds f(s)=-p r/q equations, the necessary and sufficient condition is given for the framed curve to be a framed η_3-slant helix. Finally, necessary and sufficient conditions are given for this framed curve to be a framed η_3-slant helix if the equality r/q=Acosβ(s)+Bsinβ(s) obtained with the help of first and second-order differentiable functions q(s),r(s) and β(s) are provided. In the conclusion section, in the third section, a characterization is given for framed generalized helices in 4-dimensional space in terms of their generalized curvatures. Then, a different characterization obtained if this characterization is provided is given. Finally, a characterization is given for framed general helices in 4-dimensional space with the help of properly selected first and second-order differentiable functions. In the fourth section, a characterization of framed η_3-slant helices found in terms of generalized curvatures is given. Then, based on this data, a different characterization is given for the framed η_3-slant helices, which is obtained with the help of a second-order differentiable function. Finally, another characterization is given for the framed η_3-slant helix with the help of properly selected first and second-order differentiable functions. At the end of this section, suggestions for advanced research are given.