Disoriented Düğüm Teorisinin Temel Kavramları = Basic Concepts of Disoriented Knot Theory

Abstract

Bu tezin amacı, disoriented düğüm ve halkaların diyagramatik ve polinom invaryantlarını ortaya çıkararak disoriented düğüm teorisinin temellerini oluşturmaktır. Bu amaç doğrultusunda disoriented düğüm ve halka kavramı yeniden tanımlandı. İlk kez [1] de verilen disoriented düğüm tanımını genelleştiren bu yeni tanım sayesinde disoriented düğümlerin bağlantılı toplamı kolayca açıklandı ve bir düğümün tüm disoriented diyagramlarının sayısı belirlendi. Disoriented düğüm ve halka diyagramlar için bütün Reidemeister hareketlerini üreten minimum üreteçler kümesi belirlendi. Bu minimum üreteçler kümesi disoriented düğümlerin ve halkaların invaryantlarını ispatlamak için bir temel yöntem olarak kullanıldı. Bu bağlamda ilk olarak disoriented düğüm ve halka diyagramları için Gauss kodları tanımlandı ve Gauss kodları yardımıyla disoriented çemberler üzerinde Gauss diyagramları çizildi. Disoriented Reidemester hareketlerinin minimum üreteçler kümesinin her bir hareketine karşılık gelen Gauss kodu belirlendi ve Gauss diyagramları çizildi. Disoriented düğüm ve halkaların diyagramatik invaryantları ortaya çıkarıldıktan sonra disoriented düğümlerin ve halkaların sınıflandırmasında çok önemli olan polinom invaryantları konusu ele alındı. Bu bağlamda, disoriented düğüm ve halka diyagramları için parantez polinomunun bir genellemesi olan iki değişkenli ve M adı verilen bir polinom tanımlandı ve bu polinomun iyi tanımlı bir regüler izotopi invaryantı olduğu ispatlandı. Bu polinomun, klasik düğüm ve halka diyagramları için regüler izotopinin önemli invaryantı olan Kauffman L polinomunu, disoriented düğüm teorisine genişlettiği görüldü. M polinomu tam burulma ile normalleştirilerek disoriented halka diyagramları için kuşatan izotopinin invaryantı olan ve N adı verilen bir polinom elde edildi. Bu normalleştirilmiş polinomun, hem disoriented halkalar için Jones polinomunun bir genellemesi olduğu hem de klasik düğüm teorisindeki Kauffman F polinomunu disoriented halka diyagramlarına genişlettiği görüldü. Aynı zamanda M ve N polinomlarının bazı temel özellikleri de ispatlandı ve birkaç disoriented düğüm ve halka diyagramının M ve N polinomları hesaplandı. Bu tezden üretilen ve ISI veri tabanında taranan dergilerde yayımlanan iki makale ve [1] çalışması ile birlikte disoriented düğüm teorisinin temelleri büyük ölçüde atılmış oldu. Bu açıdan bu tez ve üretilen makaleler düğüm teorisinin gelişimi için kaynak teşkil edecek niteliktedir.

The aim of this thesis is to provide a basis for the disoriented knot theory by revealing the diagrammatic and polynomial invariants of disoriented knots and links. For this purpose, the concept of disoriented knot and link has been redefined. Thanks to this new definition, which generalizes the definition of a disoriented knot given for the first time in [1], the connected sum of disoriented knots is easily explained, and the number of all disoriented diagrams of a knot has been determined. For the disoriented knot and link diagrams, the minimum set of generators that produce all Reidemeister moves has been determined. This minimum set of generators has been used as a baseline method to prove invariants of disoriented knots and links. In this context, firstly, Gauss codes have been defined for disoriented knot and link diagrams, and Gauss diagrams have been drawn on disoriented circles with the help of Gauss codes. The Gauss code corresponding to each move of the minimum generator set of the disoriented Reidemester moves has been determined, and Gauss diagrams have been drawn. After revealing the diagrammatic invariants of disoriented knots and links, the subject of polynomial invariants, which is very important in the classification of disoriented knots and links, has been discussed. In this regard, a bivariate polynomial M, which is a generalization of the bracket polynomial for disoriented knot and link diagrams, has been defined and proved to be a well-defined regular isotopic invariant. This polynomial has extended the Kauffman L polynomial, which is the important invariant of the regular isotopy for classical knot and link diagrams, to disoriented knot theory. The polynomial M has been normalized by complete writhe to obtain a polynomial called N, which is an invariant of the ambient isotopy for disoriented link diagrams. It shows that this normalized polynomial is both a generalization of the Jones polynomial for disoriented links and extends the Kauffman F polynomial in classical knot theory to disoriented link diagrams. At the same time, some basic properties of M and N polynomials have been proved, and the polynomials M and N of several disoriented knot and link diagrams have been calculated. The foundations of the disoriented knot theory have been laid to a large extent, with two articles produced from this thesis and [1] published in journals and indexed in the ISI database. In this respect, this thesis and the articles produced will be a source for the development of knot theory.